Elementarmathematik Beispiele

$2 y - 4 x + x^{2} + y^{2} = 3$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 y + y^{2}$ an.

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Schritt 1.1

Stelle $2 y$ und $y^{2}$ um.

$y^{2} + 2 y$

Schritt 1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.5.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 1.5.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 1)}^{2} - 1$ ein.

${(y + 1)}^{2} - 1$

Schritt 2

Setze ${(y + 1)}^{2} - 1$ für $2 y + y^{2}$ ein in der Gleichung $2 y - 4 x + x^{2} + y^{2} = 3$ .

${(y + 1)}^{2} - 1 - 4 x + x^{2} = 3$

Schritt 3

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(y + 1)}^{2} - 4 x + x^{2} = 3 + 1$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 x + x^{2}$ an.

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Schritt 4.1

Stelle $- 4 x$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} - 4 x$

Schritt 4.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Schritt 4.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 4.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 4.4.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 4.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 4.5.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 4.5.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Schritt 4.5.2.1.1.6.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 4.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - 4$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$e = - 4$

Schritt 4.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 2)}^{2} - 4$ ein.

${(x - 2)}^{2} - 4$

Schritt 5

Setze ${(x - 2)}^{2} - 4$ für $- 4 x + x^{2}$ ein in der Gleichung $2 y - 4 x + x^{2} + y^{2} = 3$ .

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} - 4 = 3 + 1$

Schritt 6

Bringe $- 4$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $4$ auf beiden Seiten.

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 3 + 1 + 4$

Schritt 7

Vereinfache $3 + 1 + 4$ .

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Schritt 7.1

Addiere $3$ und $1$ .

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 4 + 4$

Schritt 7.2

Addiere $4$ und $4$ .

${(y + 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = 8$

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