Elementarmathematik Beispiele

x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y = - 12

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y = - 12$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf

x^{2} - 8 x

$x^{2} - 8 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = 1

$a = 1$

b = - 8

$b = - 8$

c = 0

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 8

$- 8$ und

2

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

- 8

$- 8$ heraus.

d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ heraus.

d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 1.3.2.2.4

Dividiere

$- 4$ durch

$1$ .

$d = - 4$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere

$- 8$ mit

$2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Schritt 1.4.2.1.3

Dividiere

$64$ durch

$4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere

$16$ von

$0$ .

$e = - 16$

Schritt 1.5

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

${(x - 4)}^{2} - 16$ ein.

${(x - 4)}^{2} - 16$

Schritt 2

Setze

${(x - 4)}^{2} - 16$ für

$x^{2} - 8 x$ ein in der Gleichung

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y = - 12$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 + y^{2} - 8 y = - 12$

Schritt 3

Bringe

$- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von

$16$ auf beiden Seiten.

${(x - 4)}^{2} + y^{2} - 8 y = - 12 + 16$

Schritt 4

Wende die quadratische Ergänzung auf

$y^{2} - 8 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende die Form

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

$a$ ,

$b$ und

$c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Schritt 4.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.3

Ermittle den Wert von

$d$ mithilfe der Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Setze die Werte von

$a$ und

$b$ in die Formel

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$- 8$ und

$2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$- 8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Schritt 4.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Dividiere

$- 4$ durch

$1$ .

$d = - 4$

Schritt 4.4

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1

Potenziere

$- 8$ mit

$2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Schritt 4.4.2.1.3

Dividiere

$64$ durch

$4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Schritt 4.4.2.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$16$ .

$e = 0 - 16$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere

$16$ von

$0$ .

$e = - 16$

Schritt 4.5

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

${(y - 4)}^{2} - 16$ ein.

${(y - 4)}^{2} - 16$

Schritt 5

Setze

${(y - 4)}^{2} - 16$ für

$y^{2} - 8 y$ ein in der Gleichung

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 8 y = - 12$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = - 12 + 16$

Schritt 6

Bringe

$- 16$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von

$16$ auf beiden Seiten.

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - 12 + 16 + 16$

Schritt 7

Vereinfache

$- 12 + 16 + 16$ .

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Schritt 7.1

Addiere

$- 12$ und

$16$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4 + 16$

Schritt 7.2

Addiere

$4$ und

$16$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 20$

Gib DEINE Aufgabe ein