Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ als Gleichung.

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} - 5 x - 5$ an.

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Schritt 2.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = - 5$

Schritt 2.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 2.1.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 2.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

Schritt 2.1.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{25}{4}$ .

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Schritt 2.1.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

Schritt 2.1.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $1$ .

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

Schritt 2.1.4.2.5.2

Addiere $- 20$ und $25$ .

$e = \frac{5}{4}$

Schritt 2.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ ein.

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 2.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Schritt 3

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{5}{4}$

Schritt 4

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 5

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Schritt 6

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 6.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 6.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 7

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 7.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{5}{2}, 1)$

Schritt 8

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 9

Finde die Leitlinie.

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Schritt 9.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 10

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{2}, 1)$

Symmetrieachse: $x = - \frac{5}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{3}{2}$

Schritt 11

Gib DEINE Aufgabe ein