Elementarmathematik Beispiele

(- 1, - 1)

$(- 1, - 1)$ ,

(1, 2)

$(1, 2)$

Schritt 1

Der Durchmesser eines Kreises ist jede gerade Strecke, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht und deren Endpunkte auf dem Umfang des Kreises liegen. Die gegebenen Endpunkte des Durchmessers sind

(- 1, - 1)

$(- 1, - 1)$ und

(1, 2)

$(1, 2)$ . Der Mittelpunkt des Kreises ist der Mittelpunkt des Durchmessers, welcher der Mittelpunkt zwischen

(- 1, - 1)

$(- 1, - 1)$ und

(1, 2)

$(1, 2)$ ist. In diesem Fall ist der Mittelpunkt

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.1

Wende die Mittelpunktsformel an, um den Mittelpunkt des Liniensegments zu bestimmen.

(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Schritt 1.2

Setze die Werte für

(x_{1}, y_{1})

$(x_{1}, y_{1})$ und

(x_{2}, y_{2})

$(x_{2}, y_{2})$ ein.

(\frac{- 1 + 1}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})

$(\frac{- 1 + 1}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})$

Schritt 1.3

Addiere

- 1

$- 1$ und

1

$1$ .

(\frac{0}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})

$(\frac{0}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})$

Schritt 1.4

Dividiere

0

$0$ durch

2

$2$ .

(0, \frac{- 1 + 2}{2})

$(0, \frac{- 1 + 2}{2})$

Schritt 1.5

Addiere

- 1

$- 1$ und

2

$2$ .

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$

Schritt 2

Bestimme den Radius

r

$r$ für den Kreis. Der Radius ist jede Strecke vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Umfang. In diesem Fall ist

r

$r$ der Abstand zwischen

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$ und

(- 1, - 1)

$(- 1, - 1)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

r = \sqrt{{((- 1) - 0)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{{((- 1) - 0)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere

0

$0$ von

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

- 1

$- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

r = \sqrt{1 + {(- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Kombiniere

- 1

$- 1$ und

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 2 - 1}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 2 - 1}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere

1

$1$ von

- 2

$- 2$ .

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

r = \sqrt{1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.8

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.3.8.1

Wende die Produktregel auf

- \frac{3}{2}

$- \frac{3}{2}$ an.

r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.8.2

Wende die Produktregel auf

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$ an.

r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 2.3.9

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}

$r = \sqrt{1 + 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere

\frac{3^{2}}{2^{2}}

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit

1

$1$ .

r = \sqrt{1 + \frac{3^{2}}{2^{2}}}

$r = \sqrt{1 + \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 2.3.11

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + \frac{9}{2^{2}}}

$r = \sqrt{1 + \frac{9}{2^{2}}}$

Schritt 2.3.12

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{1 + \frac{9}{4}}

$r = \sqrt{1 + \frac{9}{4}}$

Schritt 2.3.13

Schreibe

1

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

r = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{9}{4}}

$r = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{9}{4}}$

Schritt 2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

r = \sqrt{\frac{4 + 9}{4}}

$r = \sqrt{\frac{4 + 9}{4}}$

Schritt 2.3.15

Addiere

4

$4$ und

9

$9$ .

r = \sqrt{\frac{13}{4}}

$r = \sqrt{\frac{13}{4}}$

Schritt 2.3.16

Schreibe

\sqrt{\frac{13}{4}}

$\sqrt{\frac{13}{4}}$ als

\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}$ um.

r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.3.17

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.17.1

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2^{2}}}

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.3.17.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Schritt 3

{(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ ist die Form der Gleichung für einen Kreis mit Radius

r

$r$ und

(h, k)

$(h, k)$ als Mittelpunkt. In diesem Fall ist

r = \frac{\sqrt{13}}{2}

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$ und der Mittelpunkt ist

(0, \frac{1}{2})

$(0, \frac{1}{2})$ . Die Kreisgleichung lautet

{(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}

${(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}$ .

{(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}

${(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}$

Schritt 4

Die Kreisgleichung ist

{(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}

${(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ .

{(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}

${(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$

Schritt 5

Vereinfache die Kreisgleichung.

x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}

$x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$

Schritt 6

Gib DEINE Aufgabe ein