Beispiele

$(6, 8)$ , $(2, 4)$

Schritt 1

Verwende die Formel für das Skalarprodukt, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 2.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 2 + 8 \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 8 \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 32$

Schritt 2.2.2

Addiere $12$ und $32$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 44$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 8^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 8^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 64}$

Schritt 3.2.3

Addiere $36$ und $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{100}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$| a⃗ | = \sqrt{10^{2}}$

Schritt 3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| a⃗ | = 10$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 4^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 4^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

Schritt 4.2.3

Addiere $4$ und $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

Schritt 4.2.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

Schritt 4.2.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Schritt 4.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{44}{10 (2 \sqrt{5})})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $44$ und $10$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $44$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{10 (2 \sqrt{5})})$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 (2 \sqrt{5})$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 (22)}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 22}{2 (5 (2 \sqrt{5}))})$

Schritt 6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{22}{5 (2 \sqrt{5})})$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $2$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{5 (2 \sqrt{5})})$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $5 (2 \sqrt{5})$ heraus.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (5 (\sqrt{5}))})$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{11}{5 (\sqrt{5})})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{5 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{11}{5 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \sqrt{5} \sqrt{5}})$

Schritt 6.4.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 (\sqrt{5} \sqrt{5})})$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})})$

Schritt 6.4.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})})$

Schritt 6.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {\sqrt{5}}^{2}})$

Schritt 6.4.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5^{1}})$

Schritt 6.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{5 \cdot 5})$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$

Schritt 6.6

Berechne $\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ .

$θ = 10.30484646$

Gib DEINE Aufgabe ein