Beispiele

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{1}{10^{x}} + 4$ nicht definiert ist.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 3.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Schritt 3.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Schritt 3.1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Schritt 3.1.1.2.2

Da die Funktion $10^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $4$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

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Schritt 3.1.1.2.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $4$ entfernt.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Schritt 3.1.1.2.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $10^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Schritt 3.1.1.2.3

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Schritt 3.1.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $10^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Schritt 3.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Schritt 3.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 4 \cdot 10^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Schritt 3.1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

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Schritt 3.1.3.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \cdot 10^{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Schritt 3.1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Schritt 3.1.3.5

Addiere $0$ und $4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Schritt 3.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10^{x}$ .

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Schritt 3.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Schritt 3.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (10)$ .

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Schritt 3.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Schritt 3.1.4.2.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$4$

Schritt 4

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = 4$

Schritt 5

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Horizontale Asymptoten: $y = 4$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 7

Gib DEINE Aufgabe ein