Beispiele

$(1, 1, 1)$ , $(0, 1, 1)$ , $(0, 0, 1)$

Schritt 1

Vergebe einen Namen für jeden Vektor.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

${u⃗}_{3} = (0, 0, 1)$

Schritt 2

Der erste orthogonale Vektor ist der erste Vektor in der gegebenen Menge von Vektoren.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Schritt 3

Verwende die Formel, um die anderen orthogonalen Vektoren zu ermitteln.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Schritt 4

Ermittle den orthogonalen Vektor ${v⃗}_{2}$ .

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Schritt 4.1

Verwende die Formel, um ${v⃗}_{2}$ zu ermitteln.

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Schritt 4.2

Ersetze ${u⃗}_{2}$ durch $(0, 1, 1)$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Schritt 4.3

Ermittle ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

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Schritt 4.3.1

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 4.3.1.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.1.2.1.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.1.2.1.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Schritt 4.3.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Schritt 4.3.1.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Schritt 4.3.2

Ermittle die Norm von ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Schritt 4.3.2.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Schritt 4.3.3

Ermittle die Projektion von ${u⃗}_{2}$ auf ${v⃗}_{1}$ mit Hilfe der Projektionsformel.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Schritt 4.3.4

Ersetze ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ durch $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $| | {v⃗}_{1} | |$ durch $\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Schritt 4.3.6

Ersetze ${v⃗}_{1}$ durch $(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.7.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.5

Berechne den Exponenten.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.2

Multipliziere $\frac{2}{3}$ mit jedem Element der Matrix.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 4.3.7.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.3.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 4.3.7.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 4.3.7.3.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Schritt 4.4

Setze die Projektion ein.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Kombiniere jede Komponente der Vektoren.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.5

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 4.5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Schritt 4.5.8

Subtrahiere $2$ von $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5

Ermittle den orthogonalen Vektor ${v⃗}_{3}$ .

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Schritt 5.1

Verwende die Formel, um ${v⃗}_{3}$ zu ermitteln.

${v⃗}_{3} = {u⃗}_{3} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Schritt 5.2

Ersetze ${u⃗}_{3}$ durch $(0, 0, 1)$ .

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) - {proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$

Schritt 5.3

Ermittle ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3})$ .

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Schritt 5.3.1

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 5.3.1.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.2.1.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 0 + 1$

Schritt 5.3.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1$

Schritt 5.3.1.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1} = 1$

Schritt 5.3.2

Ermittle die Norm von ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Schritt 5.3.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Schritt 5.3.2.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Schritt 5.3.3

Ermittle die Projektion von ${u⃗}_{3}$ auf ${v⃗}_{1}$ mit Hilfe der Projektionsformel.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Schritt 5.3.4

Ersetze ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{1}$ durch $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Schritt 5.3.5

Ersetze $| | {v⃗}_{1} | |$ durch $\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Schritt 5.3.6

Ersetze ${v⃗}_{1}$ durch $(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 5.3.7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.7.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 5.3.7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 5.3.7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 5.3.7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 5.3.7.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 5.3.7.1.5

Berechne den Exponenten.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \times (1, 1, 1)$

Schritt 5.3.7.2

Multipliziere $\frac{1}{3}$ mit jedem Element der Matrix.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 5.3.7.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 5.3.7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 5.3.7.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4

Ermittle ${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Berechne das Skalarprodukt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (- \frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Schritt 5.4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.2.1.1

Multipliziere $0 (- \frac{2}{3})$ .

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Schritt 5.4.1.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 (\frac{2}{3}) + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Schritt 5.4.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 (\frac{1}{3}) + 1 (\frac{1}{3})$

Schritt 5.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + 1 (\frac{1}{3})$

Schritt 5.4.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + 0 + \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = 0 + \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{1}{3}$ .

${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.4.2

Ermittle die Norm von ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.9

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 5.4.2.2.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Schritt 5.4.2.2.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 5.4.2.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 5.4.2.2.13

Addiere $4$ und $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 5.4.2.2.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Schritt 5.4.2.2.15

Addiere $5$ und $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{6}{9}}$

Schritt 5.4.2.2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.16.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Schritt 5.4.2.2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.4.2.2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 5.4.2.2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$| | {v⃗}_{2} | | = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.4.2.2.17

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.4.2.2.18

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.4.2.2.19

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.19.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.4.2.2.19.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.4.2.2.19.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.4.2.2.19.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.4.2.2.19.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.19.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.19.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.19.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.2.19.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.2.2.19.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.19.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.2.2.19.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.4.2.2.19.6.5

Berechne den Exponenten.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5.4.2.2.20

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.20.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 5.4.2.2.20.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$| | {v⃗}_{2} | | = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 5.4.3

Ermittle die Projektion von ${u⃗}_{3}$ auf ${v⃗}_{2}$ mit Hilfe der Projektionsformel.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{{u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Schritt 5.4.4

Ersetze ${u⃗}_{3} \cdot {v⃗}_{2}$ durch $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{| | {v⃗}_{2} | |}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Schritt 5.4.5

Ersetze $| | {v⃗}_{2} | |$ durch $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times {v⃗}_{2}$

Schritt 5.4.6

Ersetze ${v⃗}_{2}$ durch $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{{(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{6}}{3}$ an.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.2

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6^{1}}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.2.5

Berechne den Exponenten.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{3^{2}}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{6}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 (2)}{9}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.1.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.3.2

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = \frac{1}{2} \times (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.4

Multipliziere $\frac{1}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} (- \frac{2}{3}), \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.5

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 5.4.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.5.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.5.1.4

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (\frac{- 1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.5.3

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{2 \cdot 3}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.5.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 5.4.7.5.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2 \cdot 3})$

Schritt 5.4.7.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

${proj}_{{v⃗}_{2}} ({u⃗}_{3}) = (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Schritt 5.5

Setze die Projektionen ein.

${v⃗}_{3} = (0, 0, 1) - (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Schritt 5.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Kombiniere jede Komponente der Vektoren.

$(0 - (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}), 1 - (\frac{1}{3})) - (- \frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6})$

Schritt 5.6.2

Kombiniere jede Komponente der Vektoren.

$(0 - (\frac{1}{3}) - (- \frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.3

Multipliziere $- (- \frac{1}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}), 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$(0 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.6.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(\frac{- 1 + 1}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.4.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$(\frac{0}{3}, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.4.2.2

Dividiere $0$ durch $3$ .

$(0, 0 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}), 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.5

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{1}{6}$ .

$(0, 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.6

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von $0$ .

$(0, - \frac{1}{3} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.7

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.6.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(0, - \frac{2}{6} - \frac{1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.9

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(0, \frac{- 2 - 1}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.9.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$(0, \frac{- 3}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $6$ .

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Schritt 5.6.10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$(0, \frac{3 (- 1)}{6}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(0, \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(0, \frac{- 1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(0, - \frac{1}{2}, 1 - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.12

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.6.12.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.12.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.12.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}) - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.12.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.12.6

Stelle die Faktoren von $3 \cdot 2$ um.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.12.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{1}{6}))$

Schritt 5.6.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{6 - 2 - 1}{6})$

Schritt 5.6.14

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.6.14.1

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{4 - 1}{6})$

Schritt 5.6.14.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3}{6})$

Schritt 5.6.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 5.6.15.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 (1)}{6})$

Schritt 5.6.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Schritt 5.6.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(0, - \frac{1}{2}, \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2})$

Schritt 5.6.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Schritt 6

Ermittle die Orthonormalbasis, indem du jeden orthogonalen Vektor durch seine Norm dividierst.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}, \frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}}$

Schritt 7

Ermittle den Einheitsvektor $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , wobei ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Schritt 7.1

Um einen Einheitsvektor in der gleichen Richtung wie ein Vektor $v⃗$ zu ermitteln, dividiert man durch die Norm von $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Schritt 7.2

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 7.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Schritt 7.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Schritt 7.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Schritt 7.3.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\sqrt{3}$

Schritt 7.4

Teile den Vektor durch seine Norm.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.5

Teile jedes Element des Vektors durch $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Schritt 8

Ermittle den Einheitsvektor $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , wobei ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Schritt 8.1

Um einen Einheitsvektor in der gleichen Richtung wie ein Vektor $v⃗$ zu ermitteln, dividiert man durch die Norm von $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Schritt 8.2

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 8.3.9

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 8.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Schritt 8.3.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 8.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 8.3.13

Addiere $4$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 8.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Schritt 8.3.15

Addiere $5$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Schritt 8.3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.16.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Schritt 8.3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 8.3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 8.3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 8.3.17

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 8.4

Teile den Vektor durch seine Norm.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Schritt 8.5

Teile jedes Element des Vektors durch $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 8.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 8.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 8.6.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 8.6.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 8.6.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 8.6.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Schritt 8.6.8

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Schritt 9

Ermittle den Einheitsvektor $\frac{{v⃗}_{3}}{| | {v⃗}_{3} | |}$ , wobei ${v⃗}_{3} = (0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

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Schritt 9.1

Um einen Einheitsvektor in der gleichen Richtung wie ein Vektor $v⃗$ zu ermitteln, dividiert man durch die Norm von $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Schritt 9.2

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$\sqrt{0^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt{0 + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 9.3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.3.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 9.3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 9.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{0 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 9.3.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 9.3.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 9.3.7

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 9.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 9.3.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 9.3.10

Addiere $0$ und $\frac{1}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

Schritt 9.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{4}}$

Schritt 9.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{4}}$

Schritt 9.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 9.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 9.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 9.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 9.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 9.3.14

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.3.15

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 9.4

Teile den Vektor durch seine Norm.

$\frac{(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Schritt 9.5

Teile jedes Element des Vektors durch $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$(\frac{0}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Schritt 9.6

Vereinfache.

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Schritt 9.6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(0 \sqrt{2}, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{2}$ .

$(0, \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Schritt 9.6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(0, - \frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Schritt 9.6.4

Kombiniere $\sqrt{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})$

Schritt 9.6.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2})$

Schritt 9.6.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$(0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 10

Setze die bekannten Werte ein.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}), (0, - \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})}$

Gib DEINE Aufgabe ein