Beispiele

$x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 4$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$4 + 4 (- 2) + 4$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$4 - 8 + 4$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$- 4 + 4$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 2}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$	$1$	$4$	$4$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$	$1$	$4$	$4$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$- 2$	$1$	$4$	$4$
		$- 2$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$4$	$4$
		$- 2$
	$1$	$2$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(4)$ .

$- 2$	$1$	$4$	$4$
		$- 2$	$- 4$
	$1$	$2$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$4$	$4$
		$- 2$	$- 4$
	$1$	$2$	$0$

Schritt 6.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(1) x + 2$

Schritt 6.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x + 2$

Schritt 7

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$x + 2$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{2} + 4 x + 4$ .

$x = - 2$

Schritt 10

Gib DEINE Aufgabe ein