Beispiele

$y = 2 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1

Setze $0$ für $y$ ein.

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 2

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 2 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 2.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 12 x = - 9$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} - 12 x = - 9$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} - 12 x = - 9$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{- 12 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 (1)} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 (- 6 x)}{2 \cdot 1} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{- 6 x}{1} = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.2.1.2.2.4

Dividiere $- 6 x$ durch $1$ .

$x^{2} - 6 x = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} - 6 x = - \frac{9}{2}$

Schritt 4

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 5

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- \frac{9}{2} + {(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9$

Schritt 6.2.1.2

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = - \frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 9 \cdot 2}{2}$

Schritt 6.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{- 9 + 18}{2}$

Schritt 6.2.1.5.2

Addiere $- 9$ und $18$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = \frac{9}{2}$

Schritt 7

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x - 3)}^{2}$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 8

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x - 3 = \pm \sqrt{\frac{9}{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{9}{2}}$ .

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Schritt 8.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{2}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$ um.

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x - 3 = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 8.2.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 8.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 8.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x - 3 = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 3 = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Schritt 8.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 3 = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Schritt 8.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3, - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 3$

Dezimalform:

$x = 5.12132034 \dots, 0.87867965 \dots$

Gib DEINE Aufgabe ein