Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1.2

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 1.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 - 1 & - 1 + \frac{1}{3} \end{array}]$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Schritt 1.3

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Schritt 1.4

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 1.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 1.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Die Pivot-Positionen sind die Stellen mit der führenden $1$ in jeder Zeile. Die Pivot-Spalten sind die Spalten, die eine Pivot-Position haben.

Pivot-Positionen: $a_{11}$ und $a_{22}$

Pivot-Spalten: $1$ und $2$

Schritt 3

Die Basis für den Spaltenraum einer Matrix wird durch Berücksichtigung der entsprechenden Pivot-Spalten in der ursprünglichen Matrix gebildet. Die Dimension von $Col (A)$ ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis für $Col (A)$ .

Basis von $Col (A)$ : ${[\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]}$

Dimension von $Col (A)$ : $2$

Gib DEINE Aufgabe ein