Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$

Schritt 1

Setze $3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$ gleich $0$ .

$3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$x (3 x^{2}) - 10 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 10 x^{2}$ heraus.

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + 3 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$x (3 x^{2}) + x (- 10 x) + x \cdot 3 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{2}) + x (- 10 x)$ heraus.

$x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x^{2} - 10 x) + x \cdot 3$ heraus.

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$x (3 x^{2} - 10 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 1$ plus $- 9$

$x (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$x ((3 x - 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (3 x - 1) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 x - 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{3}, 3$

Schritt 3

Gib DEINE Aufgabe ein