Beispiele

$(- 1, 2)$ , $(5, 2)$ , $(7, 2)$

Schritt 1

Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Ellipse.

Horizontale Ellipsengleichung $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vertikale Ellipsengleichung $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 2

$a$ ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt $(7, 2)$ und dem Mittelpunkt $(- 1, 2)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$a = \sqrt{{(7 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = \sqrt{{(7 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Addiere $7$ und $1$ .

$a = \sqrt{8^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Schritt 2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a = \sqrt{64 + 0}$

Schritt 2.3.6

Addiere $64$ und $0$ .

$a = \sqrt{64}$

Schritt 2.3.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$a = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 2.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = 8$

Schritt 3

$c$ ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt $(5, 2)$ und dem Mittelpunkt $(- 1, 2)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$c = \sqrt{{(5 - (- 1))}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$c = \sqrt{{(5 + 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Addiere $5$ und $1$ .

$c = \sqrt{6^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(2 - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Schritt 3.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$c = \sqrt{36 + 0}$

Schritt 3.3.6

Addiere $36$ und $0$ .

$c = \sqrt{36}$

Schritt 3.3.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$c = \sqrt{6^{2}}$

Schritt 3.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$c = 6$

Schritt 4

Wir benutzen die Gleichung $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Setze $8$ für $a$ und $6$ für $c$ ein.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als ${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ um.

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$64 - b^{2} = 6^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$64 - b^{2} = 36$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $64$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- b^{2} = 36 - 64$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $64$ von $36$ .

$- b^{2} = - 28$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - 28$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - 28$ durch $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2

Dividiere $b^{2}$ durch $1$ .

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Dividiere $- 28$ durch $- 1$ .

$b^{2} = 28$

Schritt 4.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$b = \pm \sqrt{28}$

Schritt 4.7

Vereinfache $\pm \sqrt{28}$ .

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Schritt 4.7.1

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.7.1.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

Schritt 4.7.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Schritt 4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

Schritt 4.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = 2 \sqrt{7}$

Schritt 4.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - 2 \sqrt{7}$

Schritt 4.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Schritt 5

$b$ ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.

$b = 2 \sqrt{7}$

Schritt 6

Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt $(5, 2)$ und dem Mittelpunkt $(- 1, 2)$ bestimmt, ob die Ellipse vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich $0$ ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.

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Schritt 6.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von $y$ dividiert durch die Änderung von $x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 6.2

Die Änderung von $x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von $y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 6.3

Setze die Werte von $x$ und $y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{2 - (2)}{- 1 - (5)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{- 1 - (5)}$

Schritt 6.4.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$m = \frac{0}{- 1 - (5)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$m = \frac{0}{- 1 - 5}$

Schritt 6.4.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$m = \frac{0}{- 6}$

Schritt 6.4.3

Dividiere $0$ durch $- 6$ .

$m = 0$

Schritt 6.5

Die allgemeine Gleichung für eine horizontale Ellipse ist $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 7

Setze die Werte $h = - 1$ , $k = 2$ , $a = 8$ und $b = 2 \sqrt{7}$ in $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ ein, um die Ellipsengleichung $\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ zu erhalten.

$\frac{{(x - (- 1))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8

Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Ellipse zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Schritt 8.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.4.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{7}$ an.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Schritt 8.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Schritt 8.4.3

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 8.4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Schritt 8.4.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Schritt 8.4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Schritt 8.4.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{64} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{28} = 1$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein