Beispiele

2 x^{2} + 3 x = 5

$2 x^{2} + 3 x = 5$ ,

(- 1, 5)

$(- 1, 5)$

Schritt 1

Subtrahiere

5

$5$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x^{2} + 3 x - 5 = 0

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10

$a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich

b = 3

$b = 3$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere

3

$3$ aus

3 x

$3 x$ heraus.

2 x^{2} + 3 (x) - 5 = 0

$2 x^{2} + 3 (x) - 5 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe

3

$3$ um als

- 2

$- 2$ plus

5

$5$

2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5 = 0

$2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0

$2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0$

2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0

$2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5 = 0

$(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0

$2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0

$2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

x - 1

$x - 1$ .

(x - 1) (2 x + 5) = 0

$(x - 1) (2 x + 5) = 0$

(x - 1) (2 x + 5) = 0

$(x - 1) (2 x + 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

2 x + 5 = 0

$2 x + 5 = 0$

Schritt 4

Setze

x - 1

$x - 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze

x - 1

$x - 1$ gleich

0

$0$ .

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

Schritt 5

Setze

2 x + 5

$2 x + 5$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

2 x + 5

$2 x + 5$ gleich

0

$0$ .

2 x + 5 = 0

$2 x + 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse

2 x + 5 = 0

$2 x + 5 = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere

5

$5$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x = - 5

$2 x = - 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in

2 x = - 5

$2 x = - 5$ durch

2

$2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

2 x = - 5

$2 x = - 5$ durch

2

$2$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(x - 1) (2 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{5}{2}$

Schritt 7

Bestimme die Werte von

$n$ , die einen Wert innerhalb des Intervalls

$(- 1, 5)$ ergeben.

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Schritt 7.1

Das Intervall

$(- 1, 5)$ enthält nicht

$- \frac{5}{2}$ . Es ist nicht in der endgültigen Lösung enthalten.

$- \frac{5}{2}$ liegt nicht im Intervall

Schritt 7.2

Das Intervall

$(- 1, 5)$ enthält

$1$ .

$x = 1$

Gib DEINE Aufgabe ein