Beispiele

y = x^{2} - 6 x + 16

$y = x^{2} - 6 x + 16$

Schritt 1

Setze

0

$0$ für

y

$y$ ein.

0 = x^{2} - 6 x + 16

$0 = x^{2} - 6 x + 16$

Schritt 2

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 2.1

Entferne die Klammern.

0 = x^{2} - 6 x + 16

$0 = x^{2} - 6 x + 16$

Schritt 2.2

x

$x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

x^{2} - 6 x + 16 = 0

$x^{2} - 6 x + 16 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere

16

$16$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{2} - 6 x = - 16

$x^{2} - 6 x = - 16$

x^{2} - 6 x = - 16

$x^{2} - 6 x = - 16$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von

b

$b$ ist.

{(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 3)}^{2}

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} = - 16 + {(- 3)}^{2}

$x^{2} - 6 x + {(- 3)}^{2} = - 16 + {(- 3)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Potenziere

- 3

$- 3$ mit

2

$2$ .

x^{2} - 6 x + 9 = - 16 + {(- 3)}^{2}

$x^{2} - 6 x + 9 = - 16 + {(- 3)}^{2}$

x^{2} - 6 x + 9 = - 16 + {(- 3)}^{2}

$x^{2} - 6 x + 9 = - 16 + {(- 3)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache

- 16 + {(- 3)}^{2}

$- 16 + {(- 3)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere

- 3

$- 3$ mit

2

$2$ .

x^{2} - 6 x + 9 = - 16 + 9

$x^{2} - 6 x + 9 = - 16 + 9$

Schritt 5.2.1.2

Addiere

- 16

$- 16$ und

9

$9$ .

x^{2} - 6 x + 9 = - 7

$x^{2} - 6 x + 9 = - 7$

x^{2} - 6 x + 9 = - 7

$x^{2} - 6 x + 9 = - 7$

x^{2} - 6 x + 9 = - 7

$x^{2} - 6 x + 9 = - 7$

x^{2} - 6 x + 9 = - 7

$x^{2} - 6 x + 9 = - 7$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu

{(x - 3)}^{2}

${(x - 3)}^{2}$ .

{(x - 3)}^{2} = - 7

${(x - 3)}^{2} = - 7$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach

x

$x$ auf.

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Schritt 7.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

x - 3 = \pm \sqrt{- 7}

$x - 3 = \pm \sqrt{- 7}$

Schritt 7.2

Vereinfache

\pm \sqrt{- 7}

$\pm \sqrt{- 7}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe

- 7

$- 7$ als

- 1 (7)

$- 1 (7)$ um.

x - 3 = \pm \sqrt{- 1 (7)}

$x - 3 = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Schritt 7.2.2

Schreibe

\sqrt{- 1 (7)}

$\sqrt{- 1 (7)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ um.

x - 3 = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}

$x - 3 = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Schritt 7.2.3

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

x - 3 = \pm i \sqrt{7}

$x - 3 = \pm i \sqrt{7}$

x - 3 = \pm i \sqrt{7}

$x - 3 = \pm i \sqrt{7}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

x - 3 = i \sqrt{7}

$x - 3 = i \sqrt{7}$

Schritt 7.3.2

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = i \sqrt{7} + 3

$x = i \sqrt{7} + 3$

Schritt 7.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

x - 3 = - i \sqrt{7}

$x - 3 = - i \sqrt{7}$

Schritt 7.3.4

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = - i \sqrt{7} + 3

$x = - i \sqrt{7} + 3$

Schritt 7.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

x = i \sqrt{7} + 3, - i \sqrt{7} + 3

$x = i \sqrt{7} + 3, - i \sqrt{7} + 3$

x = i \sqrt{7} + 3, - i \sqrt{7} + 3

$x = i \sqrt{7} + 3, - i \sqrt{7} + 3$

x = i \sqrt{7} + 3, - i \sqrt{7} + 3

$x = i \sqrt{7} + 3, - i \sqrt{7} + 3$

Gib DEINE Aufgabe ein