Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & - 1 0 & 2 1 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} 0 & 2 1 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 1 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 1 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1.2

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 1 - 1 & - 1 + \frac{1}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 - 1 & - 1 + \frac{1}{3} \end{array}]$

Schritt 1.2.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Schritt 1.3

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} \frac{0}{2} & \frac{2}{2} 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Schritt 1.4

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Die Pivot-Positionen sind die Stellen mit der führenden

1

$1$ in jeder Zeile. Die Pivot-Spalten sind die Spalten, die eine Pivot-Position haben.

Pivot-Positionen:

a_{11}

$a_{11}$ und

a_{22}

$a_{22}$

Pivot-Spalten:

1

$1$ und

2

$2$

Schritt 3

Die Basis für den Spaltenraum einer Matrix wird durch Berücksichtigung der entsprechenden Pivot-Spalten in der ursprünglichen Matrix gebildet. Die Dimension von

Col (A)

$Col (A)$ ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis für

Col (A)

$Col (A)$ .

Basis von

Col (A)

$Col (A)$ :

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 301 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 2 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]}$

Dimension von

$Col (A)$ :

$2$

Gib DEINE Aufgabe ein