Beispiele
S⎛⎜⎝⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠=⎡⎢⎣a−3b−3c3a−b−3ca−b+c⎤⎥⎦
Schritt 1
Die Transformation definiert eine Abbildung von R3 auf R3. Um zu beweisen, dass die Transformation linear ist, muss die Transformation skalare Multiplikation, Addition und den Nullvektor bewahren.
S: R3→R3
Schritt 2
Beweise zunächst, dass die Transformation diese Eigenschaft erhält.
S(x+y)=S(x)+S(y)
Schritt 3
Stelle zwei Matrizen auf, um den Erhalt der Additionseigenschaft für S zu testen.
S⎛⎜⎝⎡⎢⎣x1x2x3⎤⎥⎦+⎡⎢⎣y1y2y3⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 4
Addiere die zwei Matrizen.
S⎡⎢⎣x1+y1x2+y2x3+y3⎤⎥⎦
Schritt 5
Wende die Transformation auf den Vektor an.
S(x+y)=⎡⎢⎣x1+y1−3(x2+y2)−3(x3+y3)3(x1+y1)−(x2+y2)−3(x3+y3)x1+y1−(x2+y2)+x3+y3⎤⎥⎦
Schritt 6
Schritt 6.1
Stelle x1+y1−3(x2+y2)−3(x3+y3) um.
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x3+y1−3y2−3y33(x1+y1)−(x2+y2)−3(x3+y3)x1+y1−(x2+y2)+x3+y3⎤⎥⎦
Schritt 6.2
Stelle 3(x1+y1)−(x2+y2)−3(x3+y3) um.
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x3+y1−3y2−3y33x1−x2−3x3+3y1−y2−3y3x1+y1−(x2+y2)+x3+y3⎤⎥⎦
Schritt 6.3
Stelle x1+y1−(x2+y2)+x3+y3 um.
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x3+y1−3y2−3y33x1−x2−3x3+3y1−y2−3y3x1−x2+x3+y1−y2+y3⎤⎥⎦
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x3+y1−3y2−3y33x1−x2−3x3+3y1−y2−3y3x1−x2+x3+y1−y2+y3⎤⎥⎦
Schritt 7
Spalte das Ergebnis durch Gruppieren der Variablen in zwei Matrizen.
S(x+y)=⎡⎢⎣x1−3x2−3x33x1−x2−3x3x1−x2+x3⎤⎥⎦+⎡⎢⎣y1−3y2−3y33y1−y2−3y3y1−y2+y3⎤⎥⎦
Schritt 8
Die Additionseigenschaft der Transformation gilt.
S(x+y)=S(x)+S(y)
Schritt 9
Damit eine Transformation linear ist, muss die skalare Multiplikation bei der Transformation erhalten bleiben.
S(px)=T⎛⎜⎝p⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 10
Schritt 10.1
Multipliziere p mit jedem Element in der Matrix.
S(px)=S⎛⎜⎝⎡⎢⎣papbpc⎤⎥⎦⎞⎟⎠
Schritt 10.2
Wende die Transformation auf den Vektor an.
S(px)=⎡⎢⎣(pa)−3(pb)−3(pc)3((pa)−(pb)−3(pc))(pa)−(pb)+pc⎤⎥⎦
Schritt 10.3
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Schritt 10.3.1
Stelle (pa)−3(pb)−3(pc) um.
S(px)=⎡⎢⎣ap−3bp−3cp3((pa)−(pb)−3(pc))(pa)−(pb)+pc⎤⎥⎦
Schritt 10.3.2
Stelle 3((pa)−(pb)−3(pc)) um.
S(px)=⎡⎢⎣ap−3bp−3cp3ap−3bp−9cp(pa)−(pb)+pc⎤⎥⎦
Schritt 10.3.3
Stelle (pa)−(pb)+pc um.
S(px)=⎡⎢⎣ap−3bp−3cp3ap−3bp−9cpap−1bp+cp⎤⎥⎦
S(px)=⎡⎢⎣ap−3bp−3cp3ap−3bp−9cpap−1bp+cp⎤⎥⎦
Schritt 10.4
Faktorisiere jedes Element der Matrix.
Schritt 10.4.1
Faktorisiere Element 0,0, indem du ap−3bp−3cp multiplizierst.
S(px)=⎡⎢⎣p(a−3b−3c)3ap−3bp−9cpap−1bp+cp⎤⎥⎦
Schritt 10.4.2
Faktorisiere Element 1,0, indem du 3ap−3bp−9cp multiplizierst.
S(px)=⎡⎢⎣p(a−3b−3c)p(3a−3b−9c)ap−1bp+cp⎤⎥⎦
Schritt 10.4.3
Faktorisiere Element 2,0, indem du ap−1bp+cp multiplizierst.
S(px)=⎡⎢⎣p(a−3b−3c)p(3a−3b−9c)p(a−b+c)⎤⎥⎦
S(px)=⎡⎢⎣p(a−3b−3c)p(3a−3b−9c)p(a−b+c)⎤⎥⎦
S(px)=⎡⎢⎣p(a−3b−3c)p(3a−3b−9c)p(a−b+c)⎤⎥⎦
Schritt 11
Die zweite Eigenschaft einer linearen Transformation bleibt bei dieser Transformation erhalten.
S⎛⎜⎝p⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦⎞⎟⎠=pS(x)
Schritt 12
Damit die Transformation linear ist, muss der Nullvektor erhalten bleiben.
S(0)=0
Schritt 13
Wende die Transformation auf den Vektor an.
S(0)=⎡⎢⎣(0)−3⋅0−3⋅03(0)−(0)−3⋅0(0)−(0)+0⎤⎥⎦
Schritt 14
Schritt 14.1
Stelle (0)−3⋅0−3⋅0 um.
S(0)=⎡⎢⎣03(0)−(0)−3⋅0(0)−(0)+0⎤⎥⎦
Schritt 14.2
Stelle 3(0)−(0)−3⋅0 um.
S(0)=⎡⎢⎣00(0)−(0)+0⎤⎥⎦
Schritt 14.3
Stelle (0)−(0)+0 um.
S(0)=⎡⎢⎣000⎤⎥⎦
S(0)=⎡⎢⎣000⎤⎥⎦
Schritt 15
Der Nullvektor bleibt bei der Transformation erhalten.
S(0)=0
Schritt 16
Da alle drei Eigenschaften linearer Transformationen nicht gegeben sind, ist dies keine lineare Transformation.
Lineare Transformation
