Beispiele

x^{2} - 10 x \leq - 9

$x^{2} - 10 x \leq - 9$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

x^{2} - 10 x = - 9

$x^{2} - 10 x = - 9$

Schritt 2

Addiere

9

$9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x^{2} - 10 x + 9 = 0

$x^{2} - 10 x + 9 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere

x^{2} - 10 x + 9

$x^{2} - 10 x + 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

9

$9$ und deren Summe

- 10

$- 10$ ist.

- 9, - 1

$- 9, - 1$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(x - 9) (x - 1) = 0

$(x - 9) (x - 1) = 0$

(x - 9) (x - 1) = 0

$(x - 9) (x - 1) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x - 9 = 0

$x - 9 = 0$

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

Schritt 5

Setze

x - 9

$x - 9$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze

x - 9

$x - 9$ gleich

0

$0$ .

x - 9 = 0

$x - 9 = 0$

Schritt 5.2

Addiere

9

$9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 9

$x = 9$

x = 9

$x = 9$

Schritt 6

Setze

x - 1

$x - 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze

x - 1

$x - 1$ gleich

0

$0$ .

x - 1 = 0

$x - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x = 1

$x = 1$

x = 1

$x = 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(x - 9) (x - 1) = 0

$(x - 9) (x - 1) = 0$ wahr machen.

x = 9, 1

$x = 9, 1$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

x < 1

$x < 1$

1 < x < 9

$1 < x < 9$

x > 9

$x > 9$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall

x < 1

$x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x < 1

$x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 0

$x = 0$

Schritt 9.1.2

Ersetze

x

$x$ durch

0

$0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(0)}^{2} - 10 \cdot 0 \leq - 9

${(0)}^{2} - 10 \cdot 0 \leq - 9$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite

0

$0$ ist größer als die rechte Seite

- 9

$- 9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall

1 < x < 9

$1 < x < 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

1 < x < 9

$1 < x < 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 5

$x = 5$

Schritt 9.2.2

Ersetze

x

$x$ durch

5

$5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(5)}^{2} - 10 \cdot 5 \leq - 9

${(5)}^{2} - 10 \cdot 5 \leq - 9$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite

- 25

$- 25$ ist kleiner als die rechte Seite

- 9

$- 9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall

x > 9

$x > 9$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

x > 9

$x > 9$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

x = 12

$x = 12$

Schritt 9.3.2

Ersetze

x

$x$ durch

12

$12$ in der ursprünglichen Ungleichung.

{(12)}^{2} - 10 \cdot 12 \leq - 9

${(12)}^{2} - 10 \cdot 12 \leq - 9$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite

24

$24$ ist größer als die rechte Seite

- 9

$- 9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

x < 1

$x < 1$ Falsch

1 < x < 9

$1 < x < 9$ Wahr

x > 9

$x > 9$ Falsch

x < 1

$x < 1$ Falsch

1 < x < 9

$1 < x < 9$ Wahr

x > 9

$x > 9$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

1 \leq x \leq 9

$1 \leq x \leq 9$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

1 \leq x \leq 9

$1 \leq x \leq 9$

Intervallschreibweise:

[1, 9]

$[1, 9]$

Schritt 12

Gib DEINE Aufgabe ein