Beispiele

f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1

$f (x) = 5 x^{2} - 5 x + 1$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn

a

$a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion

f (- \frac{b}{2 a})

$f (- \frac{b}{2 a})$ .

f_{min}

$f_{min}$

x = a x^{2} + b x + c

$x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von

x = - \frac{b}{2 a}

$x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ ein.

x = - \frac{- 5}{2 (5)}

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

x = - \frac{- 5}{2 (5)}

$x = - \frac{- 5}{2 (5)}$

Schritt 2.3

Vereinfache

- \frac{- 5}{2 (5)}

$- \frac{- 5}{2 (5)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

- 5

$- 5$ und

5

$5$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere

5

$5$ aus

- 5

$- 5$ heraus.

x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{2 \cdot 5}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere

5

$5$ aus

2 \cdot 5

$2 \cdot 5$ heraus.

x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}

$x = - \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

x = - \frac{- 1}{2}

$x = - \frac{- 1}{2}$

x = - \frac{- 1}{2}

$x = - \frac{- 1}{2}$

x = - \frac{- 1}{2}

$x = - \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

x = - - \frac{1}{2}

$x = - - \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere

- - \frac{1}{2}

$- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

x = 1 (\frac{1}{2})

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ mit

1

$1$ .

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Berechne

f (\frac{1}{2})

$f (\frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

x

$x$ durch

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = 5 {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ an.

f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{2^{2}}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{4}) - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2.1.4

Kombiniere

5

$5$ und

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere

- 5

$- 5$ und

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} + \frac{- 5}{2} + 1$

Schritt 3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{2} + 1$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$ mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere

\frac{5}{2}

$\frac{5}{2}$ mit

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe

1

$1$ als einen Bruch mit dem Nenner

1

$1$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$ mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$ mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere

2

$2$ mit

2

$2$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} - \frac{5 \cdot 2}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 5 \cdot 2 + 4}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

2

$2$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 10 + 4}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Subtrahiere

10

$10$ von

5

$5$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 5 + 4}{4}$

Schritt 3.2.4.3

Addiere

- 5

$- 5$ und

4

$4$ .

f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung ist

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ .

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

Schritt 4

Benutze die

x

$x$ - und

y

$y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$

Schritt 5

Gib DEINE Aufgabe ein