Beispiele

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Schritt 1

Setze $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ gleich $0$ .

$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} + 27 + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$x^{3} + 3^{3} + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x^{2} + 27 x = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{2} + 27 x$ heraus.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 27 x = 0$

Schritt 2.1.5.2

Faktorisiere $9 x$ aus $27 x$ heraus.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x) + 9 x (3) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $9 x$ aus $9 x (x) + 9 x (3)$ heraus.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $x + 3$ aus $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + 9 x (x + 3)$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $9 x (x + 3)$ heraus.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $x + 3$ aus $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) + (x + 3) (9 x)$ heraus.

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9 + 9 x) = 0$

Schritt 2.1.7

Addiere $- 3 x$ und $9 x$ .

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.8.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(x + 3) (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 2.1.8.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 3) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 2.1.8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) {(x + 3)}^{2} = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = - 3$ (Vielfachheit von $3$ )

Schritt 3

Gib DEINE Aufgabe ein