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Beispiele

f (x) = x^{2} + 3 x - 3

$f (x) = x^{2} + 3 x - 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf

x^{2} + 3 x - 3

$x^{2} + 3 x - 3$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = 1

$a = 1$

b = 3

$b = 3$

c = - 3

$c = - 3$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{3}{2 \cdot 1}

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

d = \frac{3}{2}

$d = \frac{3}{2}$

d = \frac{3}{2}

$d = \frac{3}{2}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von

e

$e$ mithilfe der Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von

c

$c$ ,

b

$b$ , und

a

$a$ in die Formel

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

e = - 3 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 3 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

e = - 3 - \frac{9}{4 \cdot 1}

$e = - 3 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere

4

$4$ mit

1

$1$ .

e = - 3 - \frac{9}{4}

$e = - 3 - \frac{9}{4}$

e = - 3 - \frac{9}{4}

$e = - 3 - \frac{9}{4}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um

- 3

$- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = - 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}

$e = - 3 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere

- 3

$- 3$ und

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}

$e = \frac{- 3 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

e = \frac{- 3 \cdot 4 - 9}{4}

$e = \frac{- 3 \cdot 4 - 9}{4}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

4

$4$ .

e = \frac{- 12 - 9}{4}

$e = \frac{- 12 - 9}{4}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Subtrahiere

9

$9$ von

- 12

$- 12$ .

e = \frac{- 21}{4}

$e = \frac{- 21}{4}$

e = \frac{- 21}{4}

$e = \frac{- 21}{4}$

Schritt 1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

e = - \frac{21}{4}

$e = - \frac{21}{4}$

e = - \frac{21}{4}

$e = - \frac{21}{4}$

e = - \frac{21}{4}

$e = - \frac{21}{4}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von

a

$a$ ,

d

$d$ und

e

$e$ in die Scheitelform

{(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}$ ein.

{(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}$

{(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}$

Schritt 1.2

Setze

y

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}

$y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}$

y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}

$y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{21}{4}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ zu ermitteln.

a = 1

$a = 1$

h = - \frac{3}{2}

$h = - \frac{3}{2}$

k = - \frac{21}{4}

$k = - \frac{21}{4}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt

(h, k)

$(h, k)$ .

(- \frac{3}{2}, - \frac{21}{4})

$(- \frac{3}{2}, - \frac{21}{4})$

Schritt 4

Gib DEINE Aufgabe ein

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[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$