Beispiele

(5, - 3)

$(5, - 3)$ ,

(4, - 3)

$(4, - 3)$ ,

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$

Schritt 1

Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Hyperbel.

Horizontale Hyperbelgleichung

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vertikale Hyperbelgleichung

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 2

a

$a$ ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt

(4, - 3)

$(4, - 3)$ und dem Mittelpunkt

(5, - 3)

$(5, - 3)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere

5

$5$ von

4

$4$ .

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 3

$- 3$ .

a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Addiere

- 3

$- 3$ und

3

$3$ .

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Schritt 2.3.5

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

Schritt 2.3.6

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Schritt 2.3.7

Jede Wurzel von

1

$1$ ist

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Schritt 3

c

$c$ ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$ und dem Mittelpunkt

(5, - 3)

$(5, - 3)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere

5

$5$ von

- 5

$- 5$ .

c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Potenziere

- 10

$- 10$ mit

2

$2$ .

c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {((- 3) - (- 3))}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 3

$- 3$ .

c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {(- 3 + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Addiere

- 3

$- 3$ und

3

$3$ .

c = \sqrt{100 + 0^{2}}

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Schritt 3.3.5

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

c = \sqrt{100 + 0}

$c = \sqrt{100 + 0}$

Schritt 3.3.6

Addiere

100

$100$ und

0

$0$ .

c = \sqrt{100}

$c = \sqrt{100}$

Schritt 3.3.7

Schreibe

100

$100$ als

10^{2}

$10^{2}$ um.

c = \sqrt{10^{2}}

$c = \sqrt{10^{2}}$

Schritt 3.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

Schritt 4

Wir benutzen die Gleichung

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ . Setze

1

$1$ für

a

$a$ und

10

$10$ für

c

$c$ ein.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ um.

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

1 + b^{2} = 10^{2}

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Schritt 4.3

Potenziere

10

$10$ mit

2

$2$ .

1 + b^{2} = 100

$1 + b^{2} = 100$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht

b

$b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

b^{2} = 100 - 1

$b^{2} = 100 - 1$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere

1

$1$ von

100

$100$ .

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

Schritt 4.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

b = \pm \sqrt{99}

$b = \pm \sqrt{99}$

Schritt 4.6

Vereinfache

\pm \sqrt{99}

$\pm \sqrt{99}$ .

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Schritt 4.6.1

Schreibe

99

$99$ als

3^{2} \cdot 11

$3^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere

9

$9$ aus

99

$99$ heraus.

b = \pm \sqrt{9 (11)}

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Schritt 4.6.1.2

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Schritt 4.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Schritt 4.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Schritt 4.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

b = - 3 \sqrt{11}

$b = - 3 \sqrt{11}$

Schritt 4.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Schritt 5

b

$b$ ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Schritt 6

Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt

(- 5, - 3)

$(- 5, - 3)$ und dem Mittelpunkt

(5, - 3)

$(5, - 3)$ bestimmt, ob die Hyperbel vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich

0

$0$ ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.

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Schritt 6.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von

y

$y$ dividiert durch die Änderung von

x

$x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 6.2

Die Änderung von

$x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von

$y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 6.3

Setze die Werte von

$x$ und

$y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{- 3 - (- 3)}{5 - (- 5)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 3$ .

$m = \frac{- 3 + 3}{5 - (- 5)}$

Schritt 6.4.1.2

Addiere

$- 3$ und

$3$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Schritt 6.4.2.2

Addiere

$5$ und

$5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Schritt 6.4.3

Dividiere

$0$ durch

$10$ .

$m = 0$

Schritt 6.5

Die allgemeine Gleichung für eine horizontale Hyperbel ist

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 7

Setze die Werte

$h = 5$ ,

$k = - 3$ ,

$a = 1$ und

$b = 3 \sqrt{11}$ in

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ ein, um die Gleichung der Hyperbel

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ zu erhalten.

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8

Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Hyperbel zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8.3

Dividiere

${(x - 5)}^{2}$ durch

$1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (- 3))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 3$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Schritt 8.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.5.1

Wende die Produktregel auf

$3 \sqrt{11}$ an.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Schritt 8.5.2

Potenziere

$3$ mit

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Schritt 8.5.3

Schreibe

${\sqrt{11}}^{2}$ als

$11$ um.

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Schritt 8.5.3.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{11}$ als

$11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Schritt 8.5.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Schritt 8.5.3.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 8.5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Schritt 8.5.3.5

Berechne den Exponenten.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Schritt 8.6

Mutltipliziere

$9$ mit

$11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{99} = 1$

Schritt 9

Gib DEINE Aufgabe ein