Beispiele

3^{x - 1} = 5

$3^{x - 1} = 5$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

\ln (3^{x - 1}) = \ln (5)

$\ln (3^{x - 1}) = \ln (5)$

Schritt 2

Zerlege

\ln (3^{x - 1})

$\ln (3^{x - 1})$ durch Herausziehen von

x - 1

$x - 1$ aus dem Logarithmus.

(x - 1) \ln (3) = \ln (5)

$(x - 1) \ln (3) = \ln (5)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache

(x - 1) \ln (3)

$(x - 1) \ln (3)$ .

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

x \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (5)

$x \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (5)$

Schritt 3.1.2

Schreibe

- 1 \ln (3)

$- 1 \ln (3)$ als

- \ln (3)

$- \ln (3)$ um.

x \ln (3) - \ln (3) = \ln (5)

$x \ln (3) - \ln (3) = \ln (5)$

x \ln (3) - \ln (3) = \ln (5)

$x \ln (3) - \ln (3) = \ln (5)$

x \ln (3) - \ln (3) = \ln (5)

$x \ln (3) - \ln (3) = \ln (5)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

x \ln (3) - \ln (3) - \ln (5) = 0

$x \ln (3) - \ln (3) - \ln (5) = 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht

x

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere

\ln (3)

$\ln (3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x \ln (3) - \ln (5) = \ln (3)

$x \ln (3) - \ln (5) = \ln (3)$

Schritt 5.2

Addiere

\ln (5)

$\ln (5)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)

$x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)$

x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)

$x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in

x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)

$x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)$ durch

\ln (3)

$\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in

x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)

$x \ln (3) = \ln (3) + \ln (5)$ durch

\ln (3)

$\ln (3)$ .

\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

\ln (3)

$\ln (3)$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

\ln (3)

$\ln (3)$ .

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Schritt 6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

x = 1 + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$x = 1 + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

x = 1 + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$x = 1 + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

x = 1 + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$x = 1 + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

x = 1 + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}

$x = 1 + \frac{\ln (5)}{\ln (3)}$

Gib DEINE Aufgabe ein