Beispiele

f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1

Faktorisiere

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 1.1.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 1.1.3

Setze

1

$1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

0

$0$ , folglich ist

1

$1$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Setze

1

$1$ in das Polynom ein.

1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere

1

$1$ mit

3

$3$ .

1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.3

Potenziere

1

$1$ mit

2

$2$ .

1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere

4

$4$ mit

1

$1$ .

1 + 4 + 1 - 6

$1 + 4 + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.5

Addiere

1

$1$ und

4

$4$ .

5 + 1 - 6

$5 + 1 - 6$

Schritt 1.1.3.6

Addiere

5

$5$ und

1

$1$ .

6 - 6

$6 - 6$

Schritt 1.1.3.7

Subtrahiere

6

$6$ von

6

$6$ .

0

$0$

0

$0$

Schritt 1.1.4

1

$1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

x - 1

$x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Schritt 1.1.5

Dividiere

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ durch

x - 1

$x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

0

$0$ .

x

$x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

x

$x$

6

$6$

Schritt 1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

x^{3}

$x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$

Schritt 1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$x^{2}$ $x^{2}$

Schritt 1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

x^{3} - x^{2}

$x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$

Schritt 1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$

Schritt 1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

Schritt 1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

5 x^{2}

$5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

Schritt 1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	-	$5 x$ $5 x$

Schritt 1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

5 x^{2} - 5 x

$5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$

Schritt 1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$

Schritt 1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Schritt 1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

6 x

$6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Schritt 1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Schritt 1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

6 x - 6

$6 x - 6$

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							-	$6 x$ $6 x$	+	$6$ $6$

Schritt 1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							-	$6 x$ $6 x$	+	$6$ $6$
										$0$ $0$

Schritt 1.1.5.16

Da der Rest gleich

0

$0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$

Schritt 1.1.6

Schreibe

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1.2

Faktorisiere

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

6

$6$ und deren Summe

5

$5$ ist.

2, 3

$2, 3$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Schritt 2

Faktorisiere

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

6

$6$ und deren Summe

5

$5$ ist.

2, 3

$2, 3$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

x + 2

$x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Schritt 4.2

Dividiere

$x - 1$ durch

$1$ .

$f (x) = x - 1$

Schritt 5

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x + 2, x + 3$

Schritt 6

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich

$0$ , löse und substituiere zurück in

$x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze

$x + 2$ gleich

$0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.3

Setze

$- 2$ für

$x$ in

$x - 1$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Setze

$- 2$ für

$x$ ein, um die

$y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$- 2 - 1$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere

$1$ von

$- 2$ .

$- 3$

Schritt 6.4

Setze

$x + 3$ gleich

$0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.5

Subtrahiere

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.6

Setze

$- 3$ für

$x$ in

$x - 1$ ein und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Setze

$- 3$ für

$x$ ein, um die

$y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$- 3 - 1$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere

$1$ von

$- 3$ .

$- 4$

Schritt 6.7

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich

$0$ ist.

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Schritt 7

Gib DEINE Aufgabe ein