Beispiele

(1, 2, - 3)

$(1, 2, - 3)$ ,

(3, 5, - 3)

$(3, 5, - 3)$ ,

(1, - 1, 1)

$(1, - 1, 1)$ ,

(- 2, - 2, - 2)

$(- 2, - 2, - 2)$

Schritt 1

Gegeben seien die Punkte

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$ und

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$ . Finde eine Ebene, die die Punkte

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$ und

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$ enthält und die parallel zur Geraden

CD

$CD$ ist.

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$

Schritt 2

Berechne zunächst den Richtungsvektor der Geraden durch die Punkte

C

$C$ und

D

$D$ . Dies kann erreicht werden, indem die Koordinatenwerte von Punkt

C

$C$ von Punkt

D

$D$ subtrahiert werden.

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Schritt 3

Ersetze die

x

$x$ -,

y

$y$ - und

z

$z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor

V_{CD}

$V_{CD}$ für die Gerade

CD

$CD$ zu ermitteln.

V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩

$V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩$

Schritt 4

Berechne den Richtungsvektor einer Geraden durch die Punkte

A

$A$ und

B

$B$ mithilfe derselben Methode.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Schritt 5

Ersetze die

x

$x$ -,

y

$y$ - und

z

$z$ -Werte und vereinfache dann, um den Richtungsvektor

V_{AB}

$V_{AB}$ für die Gerade

AB

$AB$ zu ermitteln.

V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩$

Schritt 6

Die Lösungsebene enthält eine Gerade, die durch die Punkte

A

$A$ und

B

$B$ verläuft, mit dem Richtungsvektor

V_{A B}

$V_{A B}$ . Um festzustellen, ob diese Ebene parallel zur Geraden

C D

$C D$ verläuft, ermittle den Normalenvektor der Ebene, welcher auch orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden

C D

$C D$ ist. Berechne den Normalenvektor durch Ermitteln des Kreuzproduktes

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ durch Ermitteln der Determinante der Matrix

[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Schritt 7

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 7.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 7.1.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.1.4

Multipliziere Element

a_{11}

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.1.5

Die Unterdeterminante für

a_{12}

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.1.6

Multipliziere Element

a_{12}

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j

$- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j$

Schritt 7.1.7

Die Unterdeterminante für

a_{13}

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Schritt 7.1.8

Multipliziere Element

a_{13}

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2

Berechne

| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 3

$- 3$ .

i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2

Multipliziere

- - 0

$- - 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.2.2.2

Addiere

- 9

$- 9$ und

0

$0$ .

i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3

Berechne

| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 3

$- 3$ .

i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.1.2

Multipliziere

- (- 3 \cdot 0)

$- (- 3 \cdot 0)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

0

$0$ .

i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.3.2.2

Addiere

- 6

$- 6$ und

0

$0$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Schritt 7.4

Berechne

| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

- 1

$- 1$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k$

Schritt 7.4.2.1.2

Multipliziere

- (- 3 \cdot 3)

$- (- 3 \cdot 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

3

$3$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k$

Schritt 7.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 9

$- 9$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

Schritt 7.4.2.2

Addiere

- 2

$- 2$ und

9

$9$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

Schritt 7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1

Bringe

- 9

$- 9$ auf die linke Seite von

i

$i$ .

- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k

$- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 6

$- 6$ .

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

Schritt 8

Löse den Ausdruck

(- 9) x + (6) y + (7) z

$(- 9) x + (6) y + (7) z$ am Punkt

A

$A$ , da er in der Ebene ist. Dies wird angewendet, um die Konstante in der Gleichung für die Ebene zu berechnen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Mutltipliziere

- 9

$- 9$ mit

1

$1$ .

- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3

$- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere

6

$6$ mit

2

$2$ .

- 9 + 12 + (7) \cdot - 3

$- 9 + 12 + (7) \cdot - 3$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere

7

$7$ mit

- 3

$- 3$ .

- 9 + 12 - 21

$- 9 + 12 - 21$

- 9 + 12 - 21

$- 9 + 12 - 21$

Schritt 8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Addiere

- 9

$- 9$ und

12

$12$ .

3 - 21

$3 - 21$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere

21

$21$ von

3

$3$ .

- 18

$- 18$

- 18

$- 18$

- 18

$- 18$

Schritt 9

Addiere die Konstante, sodass sich die Gleichung der Ebene zu

(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$ ergibt.

(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$

Schritt 10

Mutltipliziere

7

$7$ mit

z

$z$ .

- 9 x + 6 y + 7 z = - 18

$- 9 x + 6 y + 7 z = - 18$

Gib DEINE Aufgabe ein