Beispiele

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ ,

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$

Schritt 1

Um den Schnittpunkt der Geraden durch einen Punkt

(p, q, r)

$(p, q, r)$ senkrecht zur Ebene

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ und Ebene

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ zu finden:

1. Finde die Normalvektoren von Ebene

P_{1}

$P_{1}$ und Ebene

P_{2}

$P_{2}$ , wobei die Normalvektoren

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ und

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ sind. Prüfe, ob das Skalarprodukt 0 ist.

2. Stelle einen Satz parametrischer Gleichungen auf, sodass

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ und

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Setze diese Gleichungen in die Gleichung für die Ebene

P_{2}

$P_{2}$ ein, sodass

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ und löse nach

t

$t$ auf.

4. Löse die parametrischen Gleichungen

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ und

z = r + c t

$z = r + c t$ unter Verwendung des Wertes von

t

$t$ nach

t

$t$ auf, um den Schnittpunkt

(x, y, z)

$(x, y, z)$ zu finden.

Schritt 2

Ermittle die Normalenvektoren für jede Ebene und stelle fest, ob sie senkrecht zueinander sind durch Berechnung des Skalarprodukts.

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Schritt 2.1

P_{1}

$P_{1}$ ist

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ . Finde den Normalvektor

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ der Ebenengleichung der Form

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ .

n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩

$n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩$

Schritt 2.2

P_{2}

$P_{2}$ ist

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$ . Finde den Normalvektor

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ der Ebenengleichung der Form

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ .

n_{2} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩

$n_{2} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Schritt 2.3

Berechne das Skalarprodukt von

n_{1}

$n_{1}$ und

n_{2}

$n_{2}$ , durch Summieren der Produkte der entsprechenden

x

$x$ ,

y

$y$ und

z

$z$ Werte in den Normalvektoren.

7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4

Vereinfache das Skalarprodukt.

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Schritt 2.4.1

Entferne die Klammern.

7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere

7

$7$ mit

3

$3$ .

21 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0

$21 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

21 + 1 + 0 \cdot 0

$21 + 1 + 0 \cdot 0$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere

0

$0$ mit

0

$0$ .

21 + 1 + 0

$21 + 1 + 0$

21 + 1 + 0

$21 + 1 + 0$

Schritt 2.4.3

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.4.3.1

Addiere

21

$21$ und

1

$1$ .

22 + 0

$22 + 0$

Schritt 2.4.3.2

Addiere

22

$22$ und

0

$0$ .

22

$22$

22

$22$

22

$22$

22

$22$

Schritt 3

Als Nächstes erzeuge einen Satz parametrischer Gleichungen

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ und

z = r + c t

$z = r + c t$ unter Verwendung des Ursprungs

(0, 0, 0)

$(0, 0, 0)$ für den Punkt

(p, q, r)

$(p, q, r)$ und der Werte des Normalenvektors

22

$22$ für die Werte von

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ . Dieser Satz Parameterdarstellungen stellt die Gerade durch den Ursprung dar, die senkrecht auf

P_{1}

$P_{1}$

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ steht.

x = 0 + 7 \cdot t

$x = 0 + 7 \cdot t$

y = 0 + - 1 \cdot t

$y = 0 + - 1 \cdot t$

z = 0 + 0 \cdot t

$z = 0 + 0 \cdot t$

Schritt 4

Setze den Ausdruck für

x

$x$ ,

y

$y$ und

z

$z$ in die Gleichung für

P_{2}

$P_{2}$ ,

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$ , ein.

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach

t

$t$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

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Schritt 5.1.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

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Schritt 5.1.1.1

Addiere

0

$0$ und

7 \cdot t

$7 \cdot t$ .

3 (7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

Schritt 5.1.1.2

Subtrahiere

1 \cdot t

$1 \cdot t$ von

0

$0$ .

3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0$

3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0

$3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0$

Schritt 5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere

7

$7$ mit

3

$3$ .

21 t - (- 1 \cdot t) = 0

$21 t - (- 1 \cdot t) = 0$

Schritt 5.1.2.2

Schreibe

- 1 t

$- 1 t$ als

- t

$- t$ um.

21 t - - t = 0

$21 t - - t = 0$

Schritt 5.1.2.3

Multipliziere

- - t

$- - t$ .

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Schritt 5.1.2.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

21 t + 1 t = 0

$21 t + 1 t = 0$

Schritt 5.1.2.3.2

Mutltipliziere

t

$t$ mit

1

$1$ .

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

21 t + t = 0

$21 t + t = 0$

Schritt 5.1.3

Addiere

21 t

$21 t$ und

t

$t$ .

22 t = 0

$22 t = 0$

22 t = 0

$22 t = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in

22 t = 0

$22 t = 0$ durch

22

$22$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in

22 t = 0

$22 t = 0$ durch

22

$22$ .

\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

22

$22$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere

$t$ durch

$1$ .

$t = \frac{0}{22}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere

$0$ durch

$22$ .

$t = 0$

Schritt 6

Löse die parametrischen Gleichungen nach

$x$ ,

$y$ und

$z$ auf durch Verwendung des Wertes von

$t$ .

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Schritt 6.1

Löse die Gleichung nach

$x$ auf.

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Schritt 6.1.1

Entferne die Klammern.

$x = 0 + 7 \cdot (0)$

Schritt 6.1.2

Vereinfache

$0 + 7 \cdot (0)$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere

$7$ mit

$0$ .

$x = 0 + 0$

Schritt 6.1.2.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach

$y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere

$0$ von

$0$ .

$y = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach

$z$ auf.

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Schritt 6.3.1

Entferne die Klammern.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache

$0 + 0 \cdot (0)$ .

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$0$ .

$z = 0 + 0$

Schritt 6.3.2.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$z = 0$

Schritt 6.4

Die gelösten parametrischen Gleichungen für

$x$ ,

$y$ und

$z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Schritt 7

Die für

$x$ ,

$y$ und

$z$ berechneten Wertte anwenden, der Schnittpunkt ist

$(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$

Gib DEINE Aufgabe ein