Lineare Algebra Beispiele

$a = [\begin{array}{c} 2 & 3 & 2 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 1.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 + 6 + 2$

Schritt 1.2.2

Addiere $2$ und $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 8 + 2$

Schritt 1.2.3

Addiere $8$ und $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 10$

Schritt 2

Ermittle die Norm von $b⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 2^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1^{2}}$

Schritt 2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | b⃗ | | = \sqrt{1 + 4 + 1}$

Schritt 2.2.4

Addiere $1$ und $4$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{5 + 1}$

Schritt 2.2.5

Addiere $5$ und $1$ .

$| | b⃗ | | = \sqrt{6}$

Schritt 3

Ermittle die Projektion von $a⃗$ auf $b⃗$ mit Hilfe der Projektionsformel.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{a⃗ \cdot b⃗}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Schritt 4

Ersetze $a⃗ \cdot b⃗$ durch $10$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{| | b⃗ | |}^{2}} \times b⃗$

Schritt 5

Ersetze $| | b⃗ | |$ durch $\sqrt{6}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times b⃗$

Schritt 6

Ersetze $b⃗$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{\sqrt{6}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.1.5

Berechne den Exponenten.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{10}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 (5)}{6} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = \frac{5}{3} \times [\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Schritt 7.3

Multipliziere $\frac{5}{3}$ mit jedem Element der Matrix.

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.4

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \cdot 2 & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.4.2

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{5 \cdot 2}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.4.3

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{b⃗} (a⃗) = [\begin{array}{c} \frac{5}{3} & \frac{10}{3} & \frac{5}{3} \end{array}]$

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