Lineare Algebra Beispiele

$a = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ , $b = [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 1.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 1 \cdot 3$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 0 + 3$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 1 + 3$

Schritt 1.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$b⃗ \cdot a⃗ = 4$

Schritt 2

Ermittle die Norm von $a⃗ = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 3^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0^{2} + 3^{2}}$

Schritt 2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 3^{2}}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 0 + 9}$

Schritt 2.2.4

Addiere $1$ und $0$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{1 + 9}$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $9$ .

$| | a⃗ | | = \sqrt{10}$

Schritt 3

Ermittle die Projektion von $b⃗$ auf $a⃗$ mit Hilfe der Projektionsformel.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{b⃗ \cdot a⃗}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Schritt 4

Ersetze $b⃗ \cdot a⃗$ durch $4$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{| | a⃗ | |}^{2}} \times a⃗$

Schritt 5

Ersetze $| | a⃗ | |$ durch $\sqrt{10}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times a⃗$

Schritt 6

Ersetze $a⃗$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{\sqrt{10}}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{\frac{2}{2}}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10^{1}} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.1.5

Berechne den Exponenten.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{4}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $10$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 (2)}{10} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = \frac{2}{5} \times [\begin{array}{c} 1 & 0 & 3 \end{array}]$

Schritt 7.3

Multipliziere $\frac{2}{5}$ mit jedem Element der Matrix.

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} \cdot 1 & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.4

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $1$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $0$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2}{5} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.4.3

Multipliziere $\frac{2}{5} \cdot 3$ .

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Schritt 7.4.3.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{2 \cdot 3}{5} \end{array}]$

Schritt 7.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

${proj}_{a⃗} (b⃗) = [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & 0 & \frac{6}{5} \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein