Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

Schritt 1

Der Abstand zwischen zwei Vektoren $u⃗$ und $v⃗$ in $ℂ^{n}$ ist definiert als $| | u⃗ - v⃗ | |$ ; das ist die euklidische Norm der Differenz $u⃗ - v⃗$ .

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die Norm der Differenz $u⃗ - v⃗$ , wobei $u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ und $v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Erstelle einen Vektor der Differenz.

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

Schritt 2.2

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $0$ von $2 i - 3$ .

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Ordne Terme um.

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Addiere $9$ und $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.7

Schreibe ${\sqrt{13}}^{2}$ als $13$ um.

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Schritt 2.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{13}$ als $13^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.8

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

Schritt 2.3.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

Schritt 2.3.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

Schritt 2.3.10.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.3.10.4

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

Schritt 2.3.11

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

Schritt 2.3.12

Addiere $0$ und $i$ .

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

Schritt 2.3.13

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.3.14

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.3.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

Schritt 2.3.16

Addiere $0$ und $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

Schritt 2.3.17

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

Schritt 2.3.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

Schritt 2.3.19

Addiere $13$ und $1$ .

$\sqrt{14 + 1}$

Schritt 2.3.20

Addiere $14$ und $1$ .

$\sqrt{15}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{15}$

Dezimalform:

$3.87298334 \dots$

Gib DEINE Aufgabe ein