Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 7 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ \times ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 524 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$

Schritt 1

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren

a⃗

$a⃗$ und

b⃗

$b⃗$ kann als Determinante mit den Standardeinheitsvektoren von

R^{3}

$ℝ^{3}$ und den Elementen der gegebenen Vektoren geschrieben werden.

a⃗ \times b⃗ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} î & ĵ & k̂ a_{1} & a_{2} & a_{3} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Schritt 2

Stelle die Determinante mit den gegebenen Werten auf.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} î & ĵ & k̂ 1 & - 7 & 1 5 & 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |$

Schritt 3

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 3.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 3.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 3.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.4

Multipliziere Element

a_{11}

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ î

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î$

Schritt 3.5

Die Unterdeterminante für

a_{12}

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.6

Multipliziere Element

a_{12}

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ

$- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ$

Schritt 3.7

Die Unterdeterminante für

a_{13}

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.8

Multipliziere Element

a_{13}

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 3.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 4

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 7 & 1 2 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

- 7

$- 7$ mit

4

$4$ .

(- 28 - 2 \cdot 1) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

1

$1$ .

(- 28 - 2) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

(- 28 - 2) î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere

2

$2$ von

- 28

$- 28$ .

- 30 î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 5

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 1 5 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

1

$1$ .

- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

1

$1$ .

- 30 î - (4 - 5) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - (4 - 5) ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere

5

$5$ von

4

$4$ .

- 30 î - - 1 ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

- 30 î - - 1 ĵ + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 6

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 7 5 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 6.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Schritt 6.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

$- 7$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

Schritt 6.2.2

Addiere

$2$ und

$35$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

Schritt 7

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂$

Schritt 8

Schreibe die Lösung um.

$[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein