Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$

Schritt 1

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren

$a⃗$ und

$b⃗$ kann als Determinante mit den Standardeinheitsvektoren von

$ℝ^{3}$ und den Elementen der gegebenen Vektoren geschrieben werden.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Schritt 2

Stelle die Determinante mit den gegebenen Werten auf.

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |$

Schritt 3

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

$0$ Elementen. Wenn keine

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 3.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 3.3

Die Unterdeterminante für

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.4

Multipliziere Element

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î$

Schritt 3.5

Die Unterdeterminante für

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.6

Multipliziere Element

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ$

Schritt 3.7

Die Unterdeterminante für

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.8

Multipliziere Element

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 3.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 4

Berechne

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$4$ .

$(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$1$ .

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere

$2$ von

$- 28$ .

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 5

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere

$- 5$ mit

$1$ .

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere

$5$ von

$4$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Schritt 6

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Schritt 6.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere

$- 5$ mit

$- 7$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

Schritt 6.2.2

Addiere

$2$ und

$35$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

Schritt 7

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂$

Schritt 8

Schreibe die Lösung um.

$[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein