Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren $a⃗$ und $b⃗$ kann als Determinante mit den Standardeinheitsvektoren von $ℝ^{3}$ und den Elementen der gegebenen Vektoren geschrieben werden.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Schritt 2

Stelle die Determinante mit den gegebenen Werten auf.

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & - 1 & 1 \\ 5 & - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 3

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 3.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 3.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 3.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î$

Schritt 3.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ$

Schritt 3.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$

Schritt 3.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 3.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(- 1 \cdot 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(- 1 - (- 3 \cdot 1)) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$(- 1 - - 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$(- 1 + 3) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$2 î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 5

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 î - (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 î - (2 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$2 î - (2 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$2 î - - 3 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} | k̂$

Schritt 6

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 6.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 î - - 3 ĵ + (2 \cdot - 3 - 5 \cdot - 1) k̂$

Schritt 6.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 - 5 \cdot - 1) k̂$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$2 î - - 3 ĵ + (- 6 + 5) k̂$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 6$ und $5$ .

$2 î - - 3 ĵ - k̂$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$2 î + 3 ĵ - k̂$

Schritt 8

Schreibe die Lösung um.

$[\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 1 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein