Lineare Algebra Beispiele

$(1, - 2)$ , $(- 2, 1)$

Schritt 1

Verwende die Formel für das Skalarprodukt, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 2.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 2$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4$

Schritt 3

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 3.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 4.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

Schritt 4.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Schritt 4.2.3

Addiere $4$ und $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

Schritt 5

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Schritt 6.1.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Schritt 6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Schritt 6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Schritt 6.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5^{1}})$

Schritt 6.2.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arccos (\frac{- 4}{5})$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$θ = \arccos (- \frac{4}{5})$

Schritt 6.4

Berechne $\arccos (- \frac{4}{5})$ .

$θ = 143.13010235$

Gib DEINE Aufgabe ein