Lineare Algebra Beispiele

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

Schritt 1

Verwende die Formel für das Kreuzprodukt, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Bestimme das Kreuzprodukt.

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Schritt 2.1

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren $a⃗$ und $b⃗$ kann als Determinante mit den Standardeinheitsvektoren von $ℝ^{3}$ und den Elementen der gegebenen Vektoren geschrieben werden.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Schritt 2.2

Stelle die Determinante mit den gegebenen Werten auf.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.3

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 2.3.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 2.3.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

Schritt 2.3.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

Schritt 2.3.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.3.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.5

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 2.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.5.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

Schritt 2.6

Berechne $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 2.6.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

Schritt 2.6.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 0)$ .

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Schritt 2.6.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

Schritt 2.6.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

Schritt 2.6.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

Schritt 2.8

Schreibe die Lösung um.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

Schritt 3

Ermittle die Größe des Kreuzprodukts.

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Schritt 3.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

Schritt 3.2.4

Addiere $1$ und $16$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

Schritt 3.2.5

Addiere $17$ und $4$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 4.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

Schritt 4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

Schritt 4.2.4

Addiere $4$ und $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

Schritt 4.2.5

Addiere $4$ und $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

Schritt 5

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 5.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 5.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

Schritt 5.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

Schritt 5.2.4

Addiere $4$ und $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

Schritt 5.2.5

Addiere $5$ und $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

Schritt 6

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinige $\sqrt{21}$ und $\sqrt{6}$ zu einer einzigen Wurzel.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $6$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $21$ heraus.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{2}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ um.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 7.3.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.3.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

Schritt 7.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Schritt 7.6.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Schritt 7.6.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Schritt 7.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Schritt 7.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Schritt 7.6.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 7.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 7.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 7.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 7.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 7.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Schritt 7.6.6.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

Schritt 7.7

Multipliziere $\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{14}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

Schritt 7.7.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

Schritt 7.7.3

Mutltipliziere $14$ mit $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

Schritt 7.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

Schritt 7.8

Berechne $\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ .

$θ = 56.78908923$

Gib DEINE Aufgabe ein