Lineare Algebra Beispiele

$(1, - 1, 2)$ , $(0, 3, 1)$

Schritt 1

Verwende die Formel für das Kreuzprodukt, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu ermitteln.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Schritt 2

Bestimme das Kreuzprodukt.

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Schritt 2.1

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren $a⃗$ und $b⃗$ kann als Determinante mit den Standardeinheitsvektoren von $ℝ^{3}$ und den Elementen der gegebenen Vektoren geschrieben werden.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Schritt 2.2

Stelle die Determinante mit den gegebenen Werten auf.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.3

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 2.3.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 2.3.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î$

Schritt 2.3.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ$

Schritt 2.3.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.3.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.3.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 3 \cdot 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = (- 1 - 6) î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.5

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 2.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 \cdot 1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0 \cdot 2) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.5.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - (1 + 0) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} | k̂$

Schritt 2.6

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 3 \end{array} |$ .

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Schritt 2.6.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (1 \cdot 3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0 \cdot - 1) k̂$

Schritt 2.6.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + (3 + 0) k̂$

Schritt 2.6.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - 1 \cdot 1 ĵ + 3 k̂$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$a⃗ \times b⃗ = - 7 î - ĵ + 3 k̂$

Schritt 2.8

Schreibe die Lösung um.

$a⃗ \times b⃗ = (- 7, - 1, 3)$

Schritt 3

Ermittle die Größe des Kreuzprodukts.

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Schritt 3.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + {(- 1)}^{2} + 3^{2}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 3^{2}}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{49 + 1 + 9}$

Schritt 3.2.4

Addiere $49$ und $1$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{50 + 9}$

Schritt 3.2.5

Addiere $50$ und $9$ .

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{59}$

Schritt 4

Bestimme den Betrag von $a⃗$ .

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Schritt 4.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 2^{2}}$

Schritt 4.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 1 + 4}$

Schritt 4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2 + 4}$

Schritt 4.2.5

Addiere $2$ und $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6}$

Schritt 5

Bestimme den Betrag von $b⃗$ .

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Schritt 5.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 1^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 3^{2} + 1^{2}}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1^{2}}$

Schritt 5.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9 + 1}$

Schritt 5.2.4

Addiere $0$ und $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Schritt 5.2.5

Addiere $9$ und $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{10}$

Schritt 6

Setze die Werte in die Formel ein.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6} \sqrt{10}})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{6 \cdot 10}})$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{60}})$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{4 (15)}})$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}})$

Schritt 7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}})$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

Schritt 7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{59}}{2 \sqrt{15}}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \sqrt{15} \sqrt{15}})$

Schritt 7.4.2

Bewege $\sqrt{15}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 (\sqrt{15} \sqrt{15})})$

Schritt 7.4.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})})$

Schritt 7.4.4

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})})$

Schritt 7.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Schritt 7.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {\sqrt{15}}^{2}})$

Schritt 7.4.7

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 7.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 7.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 7.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 7.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 7.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15^{1}})$

Schritt 7.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59} \sqrt{15}}{2 \cdot 15})$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{59 \cdot 15}}{2 \cdot 15})$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $59$ mit $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{2 \cdot 15})$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$

Schritt 7.7

Berechne $\arcsin (\frac{\sqrt{885}}{30})$ .

$θ = 82.5824442$

Gib DEINE Aufgabe ein