Lineare Algebra Beispiele

$S = {(1, 1, 1), (0, 1, 1)}$

Schritt 1

Vergebe einen Namen für jeden Vektor.

${u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

${u⃗}_{2} = (0, 1, 1)$

Schritt 2

Der erste orthogonale Vektor ist der erste Vektor in der gegebenen Menge von Vektoren.

${v⃗}_{1} = {u⃗}_{1} = (1, 1, 1)$

Schritt 3

Verwende die Formel, um die anderen orthogonalen Vektoren zu ermitteln.

${v⃗}_{k} = {u⃗}_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} {proj}_{{v⃗}_{i}} ({u⃗}_{k})$

Schritt 4

Ermittle den orthogonalen Vektor ${v⃗}_{2}$ .

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Schritt 4.1

Verwende die Formel, um ${v⃗}_{2}$ zu ermitteln.

${v⃗}_{2} = {u⃗}_{2} - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Schritt 4.2

Ersetze ${u⃗}_{2}$ durch $(0, 1, 1)$ .

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - {proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$

Schritt 4.3

Ermittle ${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2})$ .

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Schritt 4.3.1

Berechne das Skalarprodukt.

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Schritt 4.3.1.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.1.2.1.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.1.2.1.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 0 + 1 + 1$

Schritt 4.3.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 1 + 1$

Schritt 4.3.1.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1} = 2$

Schritt 4.3.2

Ermittle die Norm von ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{1 + 1 + 1}$

Schritt 4.3.2.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{2 + 1}$

Schritt 4.3.2.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$| | {v⃗}_{1} | | = \sqrt{3}$

Schritt 4.3.3

Ermittle die Projektion von ${u⃗}_{2}$ auf ${v⃗}_{1}$ mit Hilfe der Projektionsformel.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{{u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Schritt 4.3.4

Ersetze ${u⃗}_{2} \cdot {v⃗}_{1}$ durch $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{| | {v⃗}_{1} | |}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Schritt 4.3.5

Ersetze $| | {v⃗}_{1} | |$ durch $\sqrt{3}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times {v⃗}_{1}$

Schritt 4.3.6

Ersetze ${v⃗}_{1}$ durch $(1, 1, 1)$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{\sqrt{3}}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.7.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.7.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{\frac{2}{2}}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3^{1}} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.1.5

Berechne den Exponenten.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = \frac{2}{3} \times (1, 1, 1)$

Schritt 4.3.7.2

Multipliziere $\frac{2}{3}$ mit jedem Element der Matrix.

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 4.3.7.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.3.7.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 4.3.7.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 4.3.7.3.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

${proj}_{{v⃗}_{1}} ({u⃗}_{2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Schritt 4.4

Setze die Projektion ein.

${v⃗}_{2} = (0, 1, 1) - (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Kombiniere jede Komponente der Vektoren.

$(0 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von $0$ .

$(- \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}), 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(- \frac{2}{3}, \frac{3 - 2}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.5

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1 - (\frac{2}{3}))$

Schritt 4.5.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 4.5.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{3 - 2}{3})$

Schritt 4.5.8

Subtrahiere $2$ von $3$ .

${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$

Schritt 5

Ermittle die Orthonormalbasis, indem du jeden orthogonalen Vektor durch seine Norm dividierst.

$Span {\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}, \frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}}$

Schritt 6

Ermittle den Einheitsvektor $\frac{{v⃗}_{1}}{| | {v⃗}_{1} | |}$ , wobei ${v⃗}_{1} = (1, 1, 1)$ .

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Schritt 6.1

Um einen Einheitsvektor in der gleichen Richtung wie ein Vektor $v⃗$ zu ermitteln, dividiert man durch die Norm von $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Schritt 6.2

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + 1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 6.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + 1 + 1^{2}}$

Schritt 6.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{1 + 1 + 1}$

Schritt 6.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{2 + 1}$

Schritt 6.3.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\sqrt{3}$

Schritt 6.4

Teile den Vektor durch seine Norm.

$\frac{(1, 1, 1)}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.5

Teile jedes Element des Vektors durch $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

Schritt 7

Ermittle den Einheitsvektor $\frac{{v⃗}_{2}}{| | {v⃗}_{2} | |}$ , wobei ${v⃗}_{2} = (- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

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Schritt 7.1

Um einen Einheitsvektor in der gleichen Richtung wie ein Vektor $v⃗$ zu ermitteln, dividiert man durch die Norm von $v⃗$ .

$\frac{v⃗}{| v⃗ |}$

Schritt 7.2

Die Norm ist die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate aller Elemente im Vektor.

$\sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 7.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Schritt 7.3.9

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 7.3.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{2}}}$

Schritt 7.3.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 7.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 7.3.13

Addiere $4$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{1}{9}}$

Schritt 7.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{5 + 1}{9}}$

Schritt 7.3.15

Addiere $5$ und $1$ .

$\sqrt{\frac{6}{9}}$

Schritt 7.3.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 7.3.16.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 (2)}{9}}$

Schritt 7.3.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.16.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 7.3.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}}$

Schritt 7.3.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 7.3.17

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 7.4

Teile den Vektor durch seine Norm.

$\frac{(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Schritt 7.5

Teile jedes Element des Vektors durch $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$(\frac{- \frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 7.6

Vereinfache.

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Schritt 7.6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 7.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$(- \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 7.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 7.6.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 7.6.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 7.6.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}})$

Schritt 7.6.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$

Schritt 7.6.8

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})$

Schritt 8

Setze die bekannten Werte ein.

$Span {(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}})}$

Gib DEINE Aufgabe ein