Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ ,

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt

0

$0$ ist.

Schritt 2

Berechne das Skalarprodukt von

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ und

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

1

$1$ mit

1

$1$ .

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

Schritt 2.2.2

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

1 - 1

$1 - 1$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere

1

$1$ von

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Schritt 3

Berechne das Skalarprodukt von

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ und

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere

1

$1$ mit

1

$1$ .

1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere

0 (- \sqrt{2})

$0 (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

1 + 0 - 1 \cdot 1

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

1 + 0 - 1

$1 + 0 - 1$

Schritt 3.2.2

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

1 - 1

$1 - 1$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere

1

$1$ von

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Schritt 4

Berechne das Skalarprodukt von

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ und

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - \sqrt{2} 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

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Schritt 4.1

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Summe der Produkte ihrer Komponenten.

1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

$1$ mit

$1$ .

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere

$\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.2

Potenziere

$\sqrt{2}$ mit

$1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.2.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3

Schreibe

${\sqrt{2}}^{2}$ als

$2$ um.

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Schritt 4.2.1.3.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{2}$ als

$2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 4.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$2$ .

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere

$1$ mit

$1$ .

$1 - 2 + 1$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere

$2$ von

$1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 4.2.3

Addiere

$- 1$ und

$1$ .

$0$

Schritt 5

Die Vektoren sind orthogonal, da alle Skalarprodukte

$0$ sind.

orthogonal

Gib DEINE Aufgabe ein