Lineare Algebra Beispiele

x - 7 y = - 35

$x - 7 y = - 35$ ,

3 x - 4 y = - 5

$3 x - 4 y = - 5$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.#

[\begin{matrix} 1 & - 7 & - 35 3 & - 4 & - 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 3 & - 4 & - 5 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 2.1.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

[\begin{matrix} 1 & - 7 & - 35 3 - 3 \cdot 1 & - 4 - 3 \cdot - 7 & - 5 - 3 \cdot - 35 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 4 - 3 \cdot - 7 & - 5 - 3 \cdot - 35 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & - 7 & - 35 0 & 17 & 100 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 17 & 100 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - 7 & - 35 0 & 17 & 100 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 17 & 100 \end{array}]$

Schritt 2.2

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{17}

$\frac{1}{17}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{17}

$\frac{1}{17}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

[\begin{matrix} 1 & - 7 & - 35 \frac{0}{17} & \frac{17}{17} & \frac{100}{17} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ \frac{0}{17} & \frac{17}{17} & \frac{100}{17} \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & - 7 & - 35 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & - 7 & - 35 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & - 35 \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

Schritt 2.3

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 2.3.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 7 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & - 35 + 7 (\frac{100}{17}) 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & - 35 + 7 (\frac{100}{17}) \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{105}{17} 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{105}{17} \\ 0 & 1 & \frac{100}{17} \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = \frac{105}{17}$

$y = \frac{100}{17}$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{105}{17}, \frac{100}{17})$

Schritt 5

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{105}{17} \\ \frac{100}{17} \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein