Lineare Algebra Beispiele

$S = {[\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 1

Schreibe als eine erweiterte Matrix für $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{6}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{6}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{4}{6} & \frac{0}{6} \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (\frac{2}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.3

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{2}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{3}{13}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{3}{13}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ - \frac{3}{13} \cdot 0 & - \frac{3}{13} (- \frac{13}{3}) & - \frac{3}{13} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 2.5

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.6

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Schritt 4

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 5

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$

Gib DEINE Aufgabe ein