Lineare Algebra Beispiele

\frac{1}{2} x - y = - 3

$\frac{1}{2} x - y = - 3$ ,

9 x - y = 1

$9 x - y = 1$

Schritt 1

Verschiebe Variablen nach links und konstante Terme nach rechts.

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Schritt 1.1

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

x

$x$ .

\frac{x}{2} - y = - 3

$\frac{x}{2} - y = - 3$

9 x - y = 1

$9 x - y = 1$

Schritt 1.2

Stelle die Terme um.

\frac{1}{2} x - y = - 3

$\frac{1}{2} x - y = - 3$

9 x - y = 1

$9 x - y = 1$

\frac{1}{2} x - y = - 3

$\frac{1}{2} x - y = - 3$

9 x - y = 1

$9 x - y = 1$

Schritt 2

Schreibe das System als eine Matrix.

[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - 1 & - 3 \\ 9 & - 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - 1 & - 3 \\ 9 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

2

$2$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

2

$2$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

[\begin{array}{c} 2 (\frac{1}{2}) & 2 \cdot - 1 & 2 \cdot - 3 \\ 9 & - 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 (\frac{1}{2}) & 2 \cdot - 1 & 2 \cdot - 3 \\ 9 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 9 & - 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 9 & - 1 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 9 & - 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 9 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.2

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 3.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 9 - 9 \cdot 1 & - 1 - 9 \cdot - 2 & 1 - 9 \cdot - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 9 - 9 \cdot 1 & - 1 - 9 \cdot - 2 & 1 - 9 \cdot - 6 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 0 & 17 & 55 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 0 & 17 & 55 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 0 & 17 & 55 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 0 & 17 & 55 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{17}

$\frac{1}{17}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{17}

$\frac{1}{17}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ \frac{0}{17} & \frac{17}{17} & \frac{55}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ \frac{0}{17} & \frac{17}{17} & \frac{55}{17} \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 6 \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]$

Schritt 3.4

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 3.4.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 6 + 2 (\frac{55}{17}) \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 6 + 2 (\frac{55}{17}) \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{17} \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{17} \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{17} \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{17} \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{17} \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{17} \\ 0 & 1 & \frac{55}{17} \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

x = \frac{8}{17}

$x = \frac{8}{17}$

y = \frac{55}{17}

$y = \frac{55}{17}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

(\frac{8}{17}, \frac{55}{17})

$(\frac{8}{17}, \frac{55}{17})$

Gib DEINE Aufgabe ein