Lineare Algebra Beispiele

$4 x - 5 y = - 5$ , $3 x - y = 1$

Schritt 1

Schreibe das System als eine Matrix.

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 5 \\ 3 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{4}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{4}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{- 5}{4} \\ 3 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 3 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 (- \frac{5}{4}) & 1 - 3 (- \frac{5}{4}) \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{11}{4} & \frac{19}{4} \end{array}]$

Schritt 2.3

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{4}{11}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{4}{11}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ \frac{4}{11} \cdot 0 & \frac{4}{11} \cdot \frac{11}{4} & \frac{4}{11} \cdot \frac{19}{4} \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Schritt 2.4

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{19}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{10}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = \frac{10}{11}$

$y = \frac{19}{11}$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{10}{11}, \frac{19}{11})$

Gib DEINE Aufgabe ein