Lineare Algebra Beispiele

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 123 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 - 3 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Schritt 1

Weise die Menge dem Namen

S

$S$ zu zur durchgängigen Verwendung in dieser Aufgabe.

S = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 123 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 2 - 3 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 10 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

$S = {[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}], [\begin{array}{c} - 2 \\ - 3 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]}$

Schritt 2

Erzeuge eine Matrix, deren Zeilen die Vektoren der linearen Hülle sind.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 - 2 & - 3 & 0 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittle die normierte Zeilenstufenform der Matrix.

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Schritt 3.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 3 + 2 \cdot 2 & 0 + 2 \cdot 3 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 1 - 1 & 0 - 2 & - 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & - 2 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & - 2 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Schritt 3.3

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 3.3.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 4 + 2 \cdot 6 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 8 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}]$

Schritt 3.4

Multipliziere jedes Element von

R_{3}

$R_{3}$ mit

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ , um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jedes Element von

R_{3}

$R_{3}$ mit

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ , um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 6 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

2, 3

$2, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 3.5.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

2, 3

$2, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.6

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

1, 3

$1, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 3.6.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}

$R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

1, 3

$1, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.6.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.7

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 3.7.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.7.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4

Wandle die Zeilen ungleich Null in Spaltenvektoren um, um die Basis zu bilden.

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 100 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 010 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 001 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

Da die Basis

3

$3$ Vektoren hat, ist die Dimension von

S

$S$ gleich

3

$3$ .

dim (S) = 3

$dim (S) = 3$

Gib DEINE Aufgabe ein