Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} 1 & - 1 2 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 1

Schreibe die Matrix als Produkt einer unteren Dreiecksmatrix und einer oberen Dreiecksmatrix.

[\begin{matrix} 1 & 0 l_{21} & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{11} & u_{12} 0 & u_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & - 1 2 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 2

Multipliziere

[\begin{matrix} 1 & 0 l_{21} & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} u_{11} & u_{12} 0 & u_{22} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}]$ .

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Schritt 2.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix

2 \times 2

$2 \times 2$ und die zweite Matrix ist

2 \times 2

$2 \times 2$ .

Schritt 2.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

[\begin{matrix} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & - 1 2 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} \\ l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 2.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

[\begin{matrix} u_{11} & u_{12} l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & - 1 2 & 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 3

Löse.

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Schritt 3.1

Schreibe als lineares Gleichungssystem.

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{11} = 2$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Schritt 3.2

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle Vorkommen von

$u_{11}$ durch

$1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1.1

Ersetze alle

$u_{11}$ in

$l_{21} u_{11} = 2$ durch

$1$ .

$l_{21} \cdot 1 = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$l_{21}$ mit

$1$ .

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Schritt 3.2.2

Ersetze alle Vorkommen von

$l_{21}$ durch

$2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.2.1

Ersetze alle

$l_{21}$ in

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$ durch

$2$ .

$2 \cdot u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$u_{12}$ .

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle Vorkommen von

$u_{12}$ durch

$- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Ersetze alle

$u_{12}$ in

$2 u_{12} + u_{22} = 3$ durch

$- 1$ .

$2 (- 1) + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Schritt 3.2.4

Bringe alle Terme, die nicht

$u_{22}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u_{22} = 3 + 2$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Schritt 3.2.4.2

Addiere

$3$ und

$2$ .

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Schritt 3.2.5

Löse das Gleichungssystem.

$u_{22} = 5 l_{21} = 2 u_{11} = 1 u_{12} = - 1$

Schritt 3.2.6

Liste alle Lösungen auf.

$u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1$

Schritt 4

Setze die gelösten Werte ein.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 5 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein