Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & 2 & - 1 1 & 6 & 3 2 & - 4 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & - 1 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & - 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Schritt 2

Verwende das Vorzeichendiagramm und die gegebene Matrix, um den Kofaktor für jedes Element zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Unterdeterminante für Element

a_{11}

$a_{11}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & 3 - 4 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & 3 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Schritt 2.1.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

a_{11} = 6 \cdot 0 - (- 4 \cdot 3)

$a_{11} = 6 \cdot 0 - (- 4 \cdot 3)$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1.1

Mutltipliziere

6

$6$ mit

0

$0$ .

a_{11} = 0 - (- 4 \cdot 3)

$a_{11} = 0 - (- 4 \cdot 3)$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Multipliziere

- (- 4 \cdot 3)

$- (- 4 \cdot 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

3

$3$ .

a_{11} = 0 - - 12

$a_{11} = 0 - - 12$

Schritt 2.1.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 12

$- 12$ .

a_{11} = 0 + 12

$a_{11} = 0 + 12$

a_{11} = 0 + 12

$a_{11} = 0 + 12$

a_{11} = 0 + 12

$a_{11} = 0 + 12$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere

0

$0$ und

12

$12$ .

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

a_{11} = 12

$a_{11} = 12$

Schritt 2.2

Berechne die Unterdeterminante für Element

a_{12}

$a_{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Die Unterdeterminante für

a_{12}

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 3 2 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

a_{12} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3

$a_{12} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

1

$1$ .

a_{12} = 0 - 2 \cdot 3

$a_{12} = 0 - 2 \cdot 3$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

3

$3$ .

a_{12} = 0 - 6

$a_{12} = 0 - 6$

a_{12} = 0 - 6

$a_{12} = 0 - 6$

Schritt 2.2.2.2.2

Subtrahiere

6

$6$ von

0

$0$ .

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

a_{12} = - 6

$a_{12} = - 6$

Schritt 2.3

Berechne die Unterdeterminante für Element

a_{13}

$a_{13}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Die Unterdeterminante für

a_{13}

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 6 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

a_{13} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 6

$a_{13} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 6$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

a_{13} = - 4 - 2 \cdot 6

$a_{13} = - 4 - 2 \cdot 6$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

6

$6$ .

a_{13} = - 4 - 12

$a_{13} = - 4 - 12$

a_{13} = - 4 - 12

$a_{13} = - 4 - 12$

Schritt 2.3.2.2.2

Subtrahiere

12

$12$ von

- 4

$- 4$ .

a_{13} = - 16

$a_{13} = - 16$

a_{13} = - 16

$a_{13} = - 16$

a_{13} = - 16

$a_{13} = - 16$

a_{13} = - 16

$a_{13} = - 16$

Schritt 2.4

Berechne die Unterdeterminante für Element

a_{21}

$a_{21}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Die Unterdeterminante für

a_{21}

$a_{21}$ ist die Determinante, wenn Zeile

2

$2$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 - 4 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 0 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

a_{21} = 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot - 1)

$a_{21} = 2 \cdot 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

0

$0$ .

a_{21} = 0 - (- 4 \cdot - 1)

$a_{21} = 0 - (- 4 \cdot - 1)$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Multipliziere

- (- 4 \cdot - 1)

$- (- 4 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

a_{21} = 0 - 1 \cdot 4

$a_{21} = 0 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

4

$4$ .

a_{21} = 0 - 4

$a_{21} = 0 - 4$

a_{21} = 0 - 4

$a_{21} = 0 - 4$

a_{21} = 0 - 4

$a_{21} = 0 - 4$

Schritt 2.4.2.2.2

Subtrahiere

4

$4$ von

0

$0$ .

a_{21} = - 4

$a_{21} = - 4$

a_{21} = - 4

$a_{21} = - 4$

a_{21} = - 4

$a_{21} = - 4$

a_{21} = - 4

$a_{21} = - 4$

Schritt 2.5

Berechne die Unterdeterminante für Element

a_{22}

$a_{22}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Die Unterdeterminante für

a_{22}

$a_{22}$ ist die Determinante, wenn Zeile

2

$2$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - 1 2 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Schritt 2.5.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

a_{22} = 3 \cdot 0 - 2 \cdot - 1

$a_{22} = 3 \cdot 0 - 2 \cdot - 1$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

0

$0$ .

a_{22} = 0 - 2 \cdot - 1

$a_{22} = 0 - 2 \cdot - 1$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

- 1

$- 1$ .

a_{22} = 0 + 2

$a_{22} = 0 + 2$

a_{22} = 0 + 2

$a_{22} = 0 + 2$

Schritt 2.5.2.2.2

Addiere

0

$0$ und

2

$2$ .

a_{22} = 2

$a_{22} = 2$

a_{22} = 2

$a_{22} = 2$

a_{22} = 2

$a_{22} = 2$

a_{22} = 2

$a_{22} = 2$

Schritt 2.6

Berechne die Unterdeterminante für Element

a_{23}

$a_{23}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Die Unterdeterminante für

a_{23}

$a_{23}$ ist die Determinante, wenn Zeile

2

$2$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 2 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.6.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

a_{23} = 3 \cdot - 4 - 2 \cdot 2

$a_{23} = 3 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 4

$- 4$ .

a_{23} = - 12 - 2 \cdot 2

$a_{23} = - 12 - 2 \cdot 2$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

a_{23} = - 12 - 4

$a_{23} = - 12 - 4$

a_{23} = - 12 - 4

$a_{23} = - 12 - 4$

Schritt 2.6.2.2.2

Subtrahiere

4

$4$ von

- 12

$- 12$ .

a_{23} = - 16

$a_{23} = - 16$

a_{23} = - 16

$a_{23} = - 16$

a_{23} = - 16

$a_{23} = - 16$

a_{23} = - 16

$a_{23} = - 16$

Schritt 2.7

Berechne die Unterdeterminante für Element

a_{31}

$a_{31}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Die Unterdeterminante für

a_{31}

$a_{31}$ ist die Determinante, wenn Zeile

3

$3$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 1 6 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 6 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.7.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

a_{31} = 2 \cdot 3 - 6 \cdot - 1

$a_{31} = 2 \cdot 3 - 6 \cdot - 1$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

a_{31} = 6 - 6 \cdot - 1

$a_{31} = 6 - 6 \cdot - 1$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 6

$- 6$ mit

- 1

$- 1$ .

a_{31} = 6 + 6

$a_{31} = 6 + 6$

a_{31} = 6 + 6

$a_{31} = 6 + 6$

Schritt 2.7.2.2.2

Addiere

6

$6$ und

6

$6$ .

a_{31} = 12

$a_{31} = 12$

a_{31} = 12

$a_{31} = 12$

a_{31} = 12

$a_{31} = 12$

a_{31} = 12

$a_{31} = 12$

Schritt 2.8

Berechne die Unterdeterminante für Element

a_{32}

$a_{32}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Die Unterdeterminante für

a_{32}

$a_{32}$ ist die Determinante, wenn Zeile

3

$3$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.8.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

a_{32} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot - 1

$a_{32} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

3

$3$ .

a_{32} = 9 - 1 \cdot - 1

$a_{32} = 9 - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

a_{32} = 9 + 1

$a_{32} = 9 + 1$

a_{32} = 9 + 1

$a_{32} = 9 + 1$

Schritt 2.8.2.2.2

Addiere

9

$9$ und

1

$1$ .

a_{32} = 10

$a_{32} = 10$

a_{32} = 10

$a_{32} = 10$

a_{32} = 10

$a_{32} = 10$

a_{32} = 10

$a_{32} = 10$

Schritt 2.9

Berechne die Unterdeterminante für Element

a_{33}

$a_{33}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Die Unterdeterminante für

a_{33}

$a_{33}$ ist die Determinante, wenn Zeile

3

$3$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 2 1 & 6 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 6 \end{array} |$

Schritt 2.9.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

a_{33} = 3 \cdot 6 - 1 \cdot 2

$a_{33} = 3 \cdot 6 - 1 \cdot 2$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

6

$6$ .

a_{33} = 18 - 1 \cdot 2

$a_{33} = 18 - 1 \cdot 2$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

a_{33} = 18 - 2

$a_{33} = 18 - 2$

a_{33} = 18 - 2

$a_{33} = 18 - 2$

Schritt 2.9.2.2.2

Subtrahiere

2

$2$ von

18

$18$ .

a_{33} = 16

$a_{33} = 16$

a_{33} = 16

$a_{33} = 16$

a_{33} = 16

$a_{33} = 16$

a_{33} = 16

$a_{33} = 16$

Schritt 2.10

Die Kofaktormatrix ist eine Matrix der Unterdeterminanten mit verändertem Vorzeichen für die Elemente der

-

$-$ -Positionen im Vorzeichendiagramm.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 12 & 6 & - 16 4 & 2 & 16 12 & - 10 & 16 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 12 & 6 & - 16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & - 10 & 16 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 12 & 6 & - 16 4 & 2 & 16 12 & - 10 & 16 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 12 & 6 & - 16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & - 10 & 16 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein