Lineare Algebra Beispiele

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 2 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 135 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 101 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 1

Weise die Menge dem Namen

S

$S$ zu zur durchgängigen Verwendung in dieser Aufgabe.

S = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 2 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 135 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 101 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

$S = {[\begin{array}{c} 2 \\ - 2 \\ - 3 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 5 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 2

Erzeuge eine Matrix, deren Zeilen die Vektoren der linearen Hülle sind.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 2 & - 3 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 2 & - 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittle die normierte Zeilenstufenform der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 3}{2} 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{- 3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 1 & 3 & 5 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.2

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 1 - 1 & 3 + 1 & 5 + \frac{3}{2} 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 1 - 1 & 3 + 1 & 5 + \frac{3}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 4 & \frac{13}{2} 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 4 & \frac{13}{2} 1 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.3

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

3, 1

$3, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 4 & \frac{13}{2} 1 - 1 & 0 + 1 & 1 + \frac{3}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 1 - 1 & 0 + 1 & 1 + \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 4 & \frac{13}{2} 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 4 & \frac{13}{2} 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 4 & \frac{13}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

Schritt 3.4

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{\frac{13}{2}}{4} 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{\frac{13}{2}}{4} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & \frac{13}{8} 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & \frac{13}{8} 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \end{array}]$

Schritt 3.5

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{2}

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Führe die Zeilenumformung

R_{3} = R_{3} - R_{2}

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

3, 2

$3, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & \frac{13}{8} 0 - 0 & 1 - 1 & \frac{5}{2} - \frac{13}{8} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 - 0 & 1 - 1 & \frac{5}{2} - \frac{13}{8} \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & \frac{13}{8} 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & \frac{13}{8} 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & \frac{7}{8} \end{array}]$

Schritt 3.6

Multipliziere jedes Element von

R_{3}

$R_{3}$ mit

\frac{8}{7}

$\frac{8}{7}$ , um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.6.1

Multipliziere jedes Element von

R_{3}

$R_{3}$ mit

\frac{8}{7}

$\frac{8}{7}$ , um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & \frac{13}{8} \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot 0 & \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8} \end{array}]$

Schritt 3.6.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & \frac{13}{8} 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & \frac{13}{8} 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & \frac{13}{8} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.7

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

2, 3

$2, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{13}{8} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

2, 3

$2, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 - \frac{13}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{13}{8} \cdot 0 & \frac{13}{8} - \frac{13}{8} \cdot 1 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 - \frac{13}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{13}{8} \cdot 0 & \frac{13}{8} - \frac{13}{8} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.7.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.8

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

1, 3

$1, 3$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 3.8.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}

$R_{1} = R_{1} + \frac{3}{2} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.8.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.9

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.9.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4

Wandle die Zeilen ungleich Null in Spaltenvektoren um, um die Basis zu bilden.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Gib DEINE Aufgabe ein