Lineare Algebra Beispiele

B = [\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ 2 & - 4 & 8 \end{array}]

$B = [\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 5 & 4 & 3 \\ 2 & - 4 & 8 \end{array}]$

Schritt 1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Schritt 2

Verwende das Vorzeichendiagramm und die gegebene Matrix, um den Kofaktor für jedes Element zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Unterdeterminante für Element

b_{11}

$b_{11}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Die Unterdeterminante für

b_{11}

$b_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 4 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 2.1.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

b_{11} = 4 \cdot 8 - (- 4 \cdot 3)

$b_{11} = 4 \cdot 8 - (- 4 \cdot 3)$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

8

$8$ .

b_{11} = 32 - (- 4 \cdot 3)

$b_{11} = 32 - (- 4 \cdot 3)$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Multipliziere

- (- 4 \cdot 3)

$- (- 4 \cdot 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

3

$3$ .

b_{11} = 32 - - 12

$b_{11} = 32 - - 12$

Schritt 2.1.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 12

$- 12$ .

b_{11} = 32 + 12

$b_{11} = 32 + 12$

b_{11} = 32 + 12

$b_{11} = 32 + 12$

b_{11} = 32 + 12

$b_{11} = 32 + 12$

Schritt 2.1.2.2.2

Addiere

32

$32$ und

12

$12$ .

b_{11} = 44

$b_{11} = 44$

b_{11} = 44

$b_{11} = 44$

b_{11} = 44

$b_{11} = 44$

b_{11} = 44

$b_{11} = 44$

Schritt 2.2

Berechne die Unterdeterminante für Element

b_{12}

$b_{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Die Unterdeterminante für

b_{12}

$b_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & 3 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

b_{12} = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 3

$b_{12} = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 3$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

5

$5$ mit

8

$8$ .

b_{12} = 40 - 2 \cdot 3

$b_{12} = 40 - 2 \cdot 3$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

3

$3$ .

b_{12} = 40 - 6

$b_{12} = 40 - 6$

b_{12} = 40 - 6

$b_{12} = 40 - 6$

Schritt 2.2.2.2.2

Subtrahiere

6

$6$ von

40

$40$ .

b_{12} = 34

$b_{12} = 34$

b_{12} = 34

$b_{12} = 34$

b_{12} = 34

$b_{12} = 34$

b_{12} = 34

$b_{12} = 34$

Schritt 2.3

Berechne die Unterdeterminante für Element

b_{13}

$b_{13}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Die Unterdeterminante für

b_{13}

$b_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & 4 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

b_{13} = 5 \cdot - 4 - 2 \cdot 4

$b_{13} = 5 \cdot - 4 - 2 \cdot 4$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1.1

Mutltipliziere

5

$5$ mit

- 4

$- 4$ .

b_{13} = - 20 - 2 \cdot 4

$b_{13} = - 20 - 2 \cdot 4$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

4

$4$ .

b_{13} = - 20 - 8

$b_{13} = - 20 - 8$

b_{13} = - 20 - 8

$b_{13} = - 20 - 8$

Schritt 2.3.2.2.2

Subtrahiere

8

$8$ von

- 20

$- 20$ .

b_{13} = - 28

$b_{13} = - 28$

b_{13} = - 28

$b_{13} = - 28$

b_{13} = - 28

$b_{13} = - 28$

b_{13} = - 28

$b_{13} = - 28$

Schritt 2.4

Berechne die Unterdeterminante für Element

b_{21}

$b_{21}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Die Unterdeterminante für

b_{21}

$b_{21}$ ist die Determinante, wenn Zeile

2

$2$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 4 & 8 \end{array} |$

Schritt 2.4.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

b_{21} = 2 \cdot 8 - (- 4 \cdot - 1)

$b_{21} = 2 \cdot 8 - (- 4 \cdot - 1)$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

8

$8$ .

b_{21} = 16 - (- 4 \cdot - 1)

$b_{21} = 16 - (- 4 \cdot - 1)$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Multipliziere

- (- 4 \cdot - 1)

$- (- 4 \cdot - 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

b_{21} = 16 - 1 \cdot 4

$b_{21} = 16 - 1 \cdot 4$

Schritt 2.4.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

4

$4$ .

b_{21} = 16 - 4

$b_{21} = 16 - 4$

b_{21} = 16 - 4

$b_{21} = 16 - 4$

b_{21} = 16 - 4

$b_{21} = 16 - 4$

Schritt 2.4.2.2.2

Subtrahiere

4

$4$ von

16

$16$ .

b_{21} = 12

$b_{21} = 12$

b_{21} = 12

$b_{21} = 12$

b_{21} = 12

$b_{21} = 12$

b_{21} = 12

$b_{21} = 12$

Schritt 2.5

Berechne die Unterdeterminante für Element

b_{22}

$b_{22}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Die Unterdeterminante für

b_{22}

$b_{22}$ ist die Determinante, wenn Zeile

2

$2$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Schritt 2.5.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

b_{22} = 1 \cdot 8 - 2 \cdot - 1

$b_{22} = 1 \cdot 8 - 2 \cdot - 1$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.2.1.1

Mutltipliziere

8

$8$ mit

1

$1$ .

b_{22} = 8 - 2 \cdot - 1

$b_{22} = 8 - 2 \cdot - 1$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

- 1

$- 1$ .

b_{22} = 8 + 2

$b_{22} = 8 + 2$

b_{22} = 8 + 2

$b_{22} = 8 + 2$

Schritt 2.5.2.2.2

Addiere

8

$8$ und

2

$2$ .

b_{22} = 10

$b_{22} = 10$

b_{22} = 10

$b_{22} = 10$

b_{22} = 10

$b_{22} = 10$

b_{22} = 10

$b_{22} = 10$

Schritt 2.6

Berechne die Unterdeterminante für Element

b_{23}

$b_{23}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Die Unterdeterminante für

b_{23}

$b_{23}$ ist die Determinante, wenn Zeile

2

$2$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 2.6.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

b_{23} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 2

$b_{23} = 1 \cdot - 4 - 2 \cdot 2$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

b_{23} = - 4 - 2 \cdot 2

$b_{23} = - 4 - 2 \cdot 2$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

2

$2$ .

b_{23} = - 4 - 4

$b_{23} = - 4 - 4$

b_{23} = - 4 - 4

$b_{23} = - 4 - 4$

Schritt 2.6.2.2.2

Subtrahiere

4

$4$ von

- 4

$- 4$ .

b_{23} = - 8

$b_{23} = - 8$

b_{23} = - 8

$b_{23} = - 8$

b_{23} = - 8

$b_{23} = - 8$

b_{23} = - 8

$b_{23} = - 8$

Schritt 2.7

Berechne die Unterdeterminante für Element

b_{31}

$b_{31}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Die Unterdeterminante für

b_{31}

$b_{31}$ ist die Determinante, wenn Zeile

3

$3$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.7.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

b_{31} = 2 \cdot 3 - 4 \cdot - 1

$b_{31} = 2 \cdot 3 - 4 \cdot - 1$

Schritt 2.7.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

3

$3$ .

b_{31} = 6 - 4 \cdot - 1

$b_{31} = 6 - 4 \cdot - 1$

Schritt 2.7.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

b_{31} = 6 + 4

$b_{31} = 6 + 4$

b_{31} = 6 + 4

$b_{31} = 6 + 4$

Schritt 2.7.2.2.2

Addiere

6

$6$ und

4

$4$ .

b_{31} = 10

$b_{31} = 10$

b_{31} = 10

$b_{31} = 10$

b_{31} = 10

$b_{31} = 10$

b_{31} = 10

$b_{31} = 10$

Schritt 2.8

Berechne die Unterdeterminante für Element

b_{32}

$b_{32}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Die Unterdeterminante für

b_{32}

$b_{32}$ ist die Determinante, wenn Zeile

3

$3$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 3 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 5 & 3 \end{array} |$

Schritt 2.8.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

b_{32} = 1 \cdot 3 - 5 \cdot - 1

$b_{32} = 1 \cdot 3 - 5 \cdot - 1$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

1

$1$ .

b_{32} = 3 - 5 \cdot - 1

$b_{32} = 3 - 5 \cdot - 1$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

- 1

$- 1$ .

b_{32} = 3 + 5

$b_{32} = 3 + 5$

b_{32} = 3 + 5

$b_{32} = 3 + 5$

Schritt 2.8.2.2.2

Addiere

3

$3$ und

5

$5$ .

b_{32} = 8

$b_{32} = 8$

b_{32} = 8

$b_{32} = 8$

b_{32} = 8

$b_{32} = 8$

b_{32} = 8

$b_{32} = 8$

Schritt 2.9

Berechne die Unterdeterminante für Element

b_{33}

$b_{33}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Die Unterdeterminante für

b_{33}

$b_{33}$ ist die Determinante, wenn Zeile

3

$3$ und Spalte

3

$3$ eliminiert werden.

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.9.2

Berechne die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

b_{33} = 1 \cdot 4 - 5 \cdot 2

$b_{33} = 1 \cdot 4 - 5 \cdot 2$

Schritt 2.9.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.2.1.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

1

$1$ .

b_{33} = 4 - 5 \cdot 2

$b_{33} = 4 - 5 \cdot 2$

Schritt 2.9.2.2.1.2

Mutltipliziere

- 5

$- 5$ mit

2

$2$ .

b_{33} = 4 - 10

$b_{33} = 4 - 10$

b_{33} = 4 - 10

$b_{33} = 4 - 10$

Schritt 2.9.2.2.2

Subtrahiere

10

$10$ von

4

$4$ .

b_{33} = - 6

$b_{33} = - 6$

b_{33} = - 6

$b_{33} = - 6$

b_{33} = - 6

$b_{33} = - 6$

b_{33} = - 6

$b_{33} = - 6$

Schritt 2.10

Die Kofaktormatrix ist eine Matrix der Unterdeterminanten mit verändertem Vorzeichen für die Elemente der

-

$-$ -Positionen im Vorzeichendiagramm.

[\begin{array}{c} 44 & - 34 & - 28 \\ - 12 & 10 & 8 \\ 10 & - 8 & - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 44 & - 34 & - 28 \\ - 12 & 10 & 8 \\ 10 & - 8 & - 6 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 44 & - 34 & - 28 \\ - 12 & 10 & 8 \\ 10 & - 8 & - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 44 & - 34 & - 28 \\ - 12 & 10 & 8 \\ 10 & - 8 & - 6 \end{array}]$

Schritt 3

Transponiere die Matrix, indem du ihre Zeilen in Spalten umwandelst.

[\begin{array}{c} 44 & - 12 & 10 \\ - 34 & 10 & - 8 \\ - 28 & 8 & - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 44 & - 12 & 10 \\ - 34 & 10 & - 8 \\ - 28 & 8 & - 6 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein