Lineare Algebra Beispiele

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$

Schritt 1

Ermittle die Eigenvektoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die Eigenwerte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

p (λ)

$p (λ)$ zu ermitteln.

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 1.1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

2

$2$ ist die

2 \times 2

$2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.1.3

Setze die bekannten Werte in

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Ersetze

A

$A$ durch

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 1.1.3.2

Ersetze

I_{2}

$I_{2}$ durch

[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1.1

Multipliziere

- λ

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.2

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.3

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache jedes Element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.3.1

Addiere

2

$2$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.4.3.2

Addiere

3

$3$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 3 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.5

Bestimme die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = (4 - λ) (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.1.1

Multipliziere

(4 - λ) (3 - λ)

$(4 - λ) (3 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ (3 - λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 4 \cdot 3 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

3

$3$ .

p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 + 4 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

4

$4$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.2.1.5

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.1.2.1.5.1

Bewege

λ

$λ$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere

λ^{2}

$λ^{2}$ mit

1

$1$ .

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 4 λ - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.2.2

Subtrahiere

3 λ

$3 λ$ von

- 4 λ

$- 4 λ$ .

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 1.1.5.2.1.3

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

2

$2$ .

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6

$p (λ) = 12 - 7 λ + λ^{2} - 6$

Schritt 1.1.5.2.2

Subtrahiere

6

$6$ von

12

$12$ .

p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

Schritt 1.1.5.2.3

Stelle

- 7 λ

$- 7 λ$ und

λ^{2}

$λ^{2}$ um.

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

Schritt 1.1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich

0

$0$ , um die Eigenwerte

λ

$λ$ zu ermitteln.

λ^{2} - 7 λ + 6 = 0

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

Schritt 1.1.7

Löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 1.1.7.1

Faktorisiere

λ^{2} - 7 λ + 6

$λ^{2} - 7 λ + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.7.1.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

6

$6$ und deren Summe

- 7

$- 7$ ist.

- 6, - 1

$- 6, - 1$

Schritt 1.1.7.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

Schritt 1.1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

λ - 6 = 0

$λ - 6 = 0$

λ - 1 = 0

$λ - 1 = 0$

Schritt 1.1.7.3

Setze

λ - 6

$λ - 6$ gleich

0

$0$ und löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 1.1.7.3.1

Setze

λ - 6

$λ - 6$ gleich

0

$0$ .

λ - 6 = 0

$λ - 6 = 0$

Schritt 1.1.7.3.2

Addiere

6

$6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

λ = 6

$λ = 6$

λ = 6

$λ = 6$

Schritt 1.1.7.4

Setze

λ - 1

$λ - 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 1.1.7.4.1

Setze

λ - 1

$λ - 1$ gleich

0

$0$ .

λ - 1 = 0

$λ - 1 = 0$

Schritt 1.1.7.4.2

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

λ = 1

$λ = 1$

λ = 1

$λ = 1$

Schritt 1.1.7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(λ - 6) (λ - 1) = 0

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$ wahr machen.

λ = 6, 1

$λ = 6, 1$

λ = 6, 1

$λ = 6, 1$

λ = 6, 1

$λ = 6, 1$

Schritt 1.2

Der Eigenvektor ist gleich dem Nullraum der Matrix minus dem Eigenwert mal der Einheitsmatrix, wobei

N

$N$ der Nullraum und

I

$I$ die Einheitsmatrix ist.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Schritt 1.3

Bestimme den Eigenvektor unter Verwendung des Eigenwertes

λ = 6

$λ = 6$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1.1

Multipliziere

- 6

$- 6$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 \cdot 1 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 6

$- 6$ mit

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & - 6 \cdot 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 6

$- 6$ mit

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ - 6 \cdot 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.3

Mutltipliziere

- 6

$- 6$ mit

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.4

Mutltipliziere

- 6

$- 6$ mit

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 6 & 0 \\ 0 & - 6 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 - 6 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache jedes Element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.3.1

Subtrahiere

6

$6$ von

4

$4$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.2

Addiere

2

$2$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 + 0 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.3

Addiere

3

$3$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & 3 - 6 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.4

Subtrahiere

6

$6$ von

3

$3$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.3

Bestimme den Nullraum, wenn

λ = 6

$λ = 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.2

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

x - y = 0

$x - y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Schritt 1.3.3.4

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Schritt 1.3.3.5

Schreibe die Lösung als Linearkombination von Vektoren.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

{y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 1.3.3.7

Die Lösung ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 1.4

Bestimme den Eigenvektor unter Verwendung des Eigenwertes

λ = 1

$λ = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])

$N ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 4 - 1 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache jedes Element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von

4

$4$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere

0

$0$ von

2

$2$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 - 0 & 3 - 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.2.3

Subtrahiere

0

$0$ von

3

$3$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 3 - 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.2.4

Subtrahiere

1

$1$ von

3

$3$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Bestimme den Nullraum, wenn

λ = 1

$λ = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{0}{3} \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.2

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{2}{3}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

x + \frac{2}{3} y = 0

$x + \frac{2}{3} y = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Schritt 1.4.3.4

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Schreibe die Lösung als Linearkombination von Vektoren.

[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

{y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 1.4.3.7

Die Lösung ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 1.5

Der Eigenraum von

A

$A$ ist die Liste des Vektorraums für jeden Eigenwert.

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 2

Definiere

P

$P$ als eine Matrix der Eigenvektoren.

P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$P = [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Finde die Umkehrfunktion von

P

$P$ .

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Schritt 3.1

Die Umkehrfunktion einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei

a d - b c

$a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 3.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}

$1 \cdot 1 - - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere

1

$1$ mit

1

$1$ .

1 - - \frac{2}{3}

$1 - - \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Multipliziere

- - \frac{2}{3}

$- - \frac{2}{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

1 + 1 (\frac{2}{3})

$1 + 1 (\frac{2}{3})$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ mit

1

$1$ .

1 + \frac{2}{3}

$1 + \frac{2}{3}$

1 + \frac{2}{3}

$1 + \frac{2}{3}$

1 + \frac{2}{3}

$1 + \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe

1

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

\frac{3}{3} + \frac{2}{3}

$\frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

\frac{3 + 2}{3}

$\frac{3 + 2}{3}$

Schritt 3.2.2.4

Addiere

3

$3$ und

2

$2$ .

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

\frac{5}{3}

$\frac{5}{3}$

Schritt 3.3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 3.4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]

$P^{- 1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]

$P^{- 1} = 1 (\frac{3}{5}) [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ mit

1

$1$ .

P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]

$P^{- 1} = \frac{3}{5} [\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.7

Multipliziere

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ mit jedem Element der Matrix.

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.8

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ mit

1

$1$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \cdot 2 \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.8.3

Kombiniere

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ und

2

$2$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3}{5} \cdot - 1 & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.8.4

Multipliziere

\frac{3}{5} \cdot - 1

$\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.8.4.1

Kombiniere

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ und

- 1

$- 1$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{3 \cdot - 1}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.8.4.2

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{- 3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.8.6

Mutltipliziere

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ mit

1

$1$ .

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ähnlichkeitstransformation, um die diagonale Matrix

D

$D$ zu ermitteln.

D = P^{- 1} A P

$D = P^{- 1} A P$

Schritt 5

Ersetze die Matrizen.

[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere

[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{array}]$ .

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Schritt 6.1.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix

2 \times 2

$2 \times 2$ und die zweite Matrix ist

2 \times 2

$2 \times 2$ .

Schritt 6.1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{2}{5} \cdot 3 & \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 3 \\ - \frac{3}{5} \cdot 4 + \frac{3}{5} \cdot 3 & - \frac{3}{5} \cdot 2 + \frac{3}{5} \cdot 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 6.1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 6.2

Multipliziere

[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} & \frac{12}{5} \\ - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 1 & 1 \end{array}]$ .

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Schritt 6.2.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix

2 \times 2

$2 \times 2$ und die zweite Matrix ist

2 \times 2

$2 \times 2$ .

Schritt 6.2.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{18}{5} \cdot 1 + \frac{12}{5} \cdot 1 & \frac{18}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{12}{5} \cdot 1 \\ - \frac{3}{5} \cdot 1 + \frac{3}{5} \cdot 1 & - \frac{3}{5} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{5} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein