Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$

Schritt 1

Ermittle die Eigenvektoren.

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Schritt 1.1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

$p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 1.1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

$3$ ist die

$3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.1.3

Setze die bekannten Werte in

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 1.1.3.1

Ersetze

$A$ durch

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 1.1.3.2

Ersetze

$I_{3}$ durch

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.1.1

Multipliziere

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.1.4.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.2

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.3

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.4

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.6

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.1.4.1.2.6.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.6.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.7

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.8

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.1.4.1.2.9

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache jedes Element.

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Schritt 1.1.4.3.1

Addiere

$2$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.4.3.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.4.3.3

Addiere

$2$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.4.3.4

Addiere

$0$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.4.3.5

Addiere

$4$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.4.3.6

Addiere

$- 1$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 & 0 \\ 2 & 5 - λ & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 1.1.5

Bestimme die Determinante.

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Schritt 1.1.5.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

$0$ Elementen. Wenn keine

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

$3$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1.5.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.1.5.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.1.5.1.3

Die Unterdeterminante für

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.1.5.1.4

Multipliziere Element

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.1.5.1.5

Die Unterdeterminante für

$a_{23}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$2$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.1.5.1.6

Multipliziere Element

$a_{23}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.1.5.1.7

Die Unterdeterminante für

$a_{33}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$3$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Schritt 1.1.5.1.8

Multipliziere Element

$a_{33}$ mit seinen Kofaktoren.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Schritt 1.1.5.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Schritt 1.1.5.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$| \begin{array}{c} 2 & 5 - λ \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere

$0$ mit

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 4 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$

Schritt 1.1.5.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ 2 & 5 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.1.5.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) ((5 - λ) (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.4.2.1.1

Multipliziere

$(5 - λ) (5 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$5$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere

$5$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.2.2

Subtrahiere

$5 λ$ von

$- 5 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.5.4.2.1.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (25 - 10 λ + λ^{2} - 4)$

Schritt 1.1.5.4.2.2

Subtrahiere

$4$ von

$25$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- 10 λ + λ^{2} + 21)$

Schritt 1.1.5.4.2.3

Stelle

$- 10 λ$ und

$λ^{2}$ um.

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Schritt 1.1.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.1.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$0 + 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

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Schritt 1.1.5.5.1.1

Addiere

$0$ und

$0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Schritt 1.1.5.5.1.2

Addiere

$0$ und

$(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ .

$p (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$

Schritt 1.1.5.5.2

Multipliziere

$(4 - λ) (λ^{2} - 10 λ + 21)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 4 λ^{2} + 4 (- 10 λ) + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.5.3.1

Mutltipliziere

$- 10$ mit

$4$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 4 \cdot 21 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$21$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.3

Multipliziere

$λ$ mit

$λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.5.3.3.1

Bewege

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.3.2

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$λ$ .

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Schritt 1.1.5.5.3.3.2.1

Potenziere

$λ$ mit

$1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{2 + 1} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.3.3

Addiere

$2$ und

$1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - λ (- 10 λ) - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ \cdot λ - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.5

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.5.3.5.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 (λ \cdot λ) - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.5.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 1 \cdot - 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 10$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - λ \cdot 21$

Schritt 1.1.5.5.3.7

Mutltipliziere

$21$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} + 10 λ^{2} - 21 λ$

Schritt 1.1.5.5.4

Addiere

$4 λ^{2}$ und

$10 λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 40 λ + 84 - λ^{3} - 21 λ$

Schritt 1.1.5.5.5

Subtrahiere

$21 λ$ von

$- 40 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ + 84 - λ^{3}$

Schritt 1.1.5.5.6

Bewege

$84$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 61 λ - λ^{3} + 84$

Schritt 1.1.5.5.7

Bewege

$- 61 λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - λ^{3} - 61 λ + 84$

Schritt 1.1.5.5.8

Stelle

$14 λ^{2}$ und

$- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$

Schritt 1.1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich

$0$ , um die Eigenwerte

$λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84 = 0$

Schritt 1.1.7

Löse nach

$λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1.1

Faktorisiere

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

$\frac{p}{q}$ , wobei

$p$ ein Teiler der Konstanten und

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

$q = \pm 1$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 84, \pm 2, \pm 42, \pm 3, \pm 28, \pm 4, \pm 21, \pm 6, \pm 14, \pm 7, \pm 12$

Schritt 1.1.7.1.1.3

Setze

$3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

$0$ , folglich ist

$3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.1.7.1.1.3.1

Setze

$3$ in das Polynom ein.

$- 3^{3} + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Schritt 1.1.7.1.1.3.2

Potenziere

$3$ mit

$3$ .

$- 1 \cdot 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Schritt 1.1.7.1.1.3.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$27$ .

$- 27 + 14 \cdot 3^{2} - 61 \cdot 3 + 84$

Schritt 1.1.7.1.1.3.4

Potenziere

$3$ mit

$2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 - 61 \cdot 3 + 84$

Schritt 1.1.7.1.1.3.5

Mutltipliziere

$14$ mit

$9$ .

$- 27 + 126 - 61 \cdot 3 + 84$

Schritt 1.1.7.1.1.3.6

Addiere

$- 27$ und

$126$ .

$99 - 61 \cdot 3 + 84$

Schritt 1.1.7.1.1.3.7

Mutltipliziere

$- 61$ mit

$3$ .

$99 - 183 + 84$

Schritt 1.1.7.1.1.3.8

Subtrahiere

$183$ von

$99$ .

$- 84 + 84$

Schritt 1.1.7.1.1.3.9

Addiere

$- 84$ und

$84$ .

$0$

Schritt 1.1.7.1.1.4

$3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

$λ - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84}{λ - 3}$

Schritt 1.1.7.1.1.5

Dividiere

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ durch

$λ - 3$ .

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Schritt 1.1.7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

$0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$61 λ$

$84$

Schritt 1.1.7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$- λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$

Schritt 1.1.7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			-	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Schritt 1.1.7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$- λ^{3} + 3 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Schritt 1.1.7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Schritt 1.1.7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Schritt 1.1.7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$11 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$

Schritt 1.1.7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					+	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Schritt 1.1.7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$11 λ^{2} - 33 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Schritt 1.1.7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$

Schritt 1.1.7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Schritt 1.1.7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$- 28 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$

Schritt 1.1.7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							-	$28 λ$	+	$84$

Schritt 1.1.7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$- 28 λ + 84$

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$

Schritt 1.1.7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$11 λ$	-	$28$
$λ$	-	$3$	-	$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	-	$61 λ$	+	$84$
			+	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	-	$61 λ$
					-	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$
							-	$28 λ$	+	$84$
							+	$28 λ$	-	$84$
										$0$

Schritt 1.1.7.1.1.5.16

Since the remainder is

$0$ , the final answer is the quotient.

$- λ^{2} + 11 λ - 28$

Schritt 1.1.7.1.1.6

Schreibe

$- λ^{3} + 14 λ^{2} - 61 λ + 84$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 λ - 28) = 0$

Schritt 1.1.7.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

$a \cdot c = - 1 \cdot - 28 = 28$ und deren Summe gleich

$b = 11$ ist.

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Schritt 1.1.7.1.2.1.1.1

Faktorisiere

$11$ aus

$11 λ$ heraus.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 11 (λ) - 28) = 0$

Schritt 1.1.7.1.2.1.1.2

Schreibe

$11$ um als

$4$ plus

$7$

$(λ - 3) (- λ^{2} + (4 + 7) λ - 28) = 0$

Schritt 1.1.7.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(λ - 3) (- λ^{2} + 4 λ + 7 λ - 28) = 0$

Schritt 1.1.7.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(λ - 3) ((- λ^{2} + 4 λ) + 7 λ - 28) = 0$

Schritt 1.1.7.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(λ - 3) (λ (- λ + 4) - 7 (- λ + 4)) = 0$

Schritt 1.1.7.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

$- λ + 4$ .

$(λ - 3) ((- λ + 4) (λ - 7)) = 0$

Schritt 1.1.7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$

Schritt 1.1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$λ - 3 = 0$

$- λ + 4 = 0$

$λ - 7 = 0$

Schritt 1.1.7.3

Setze

$λ - 3$ gleich

$0$ und löse nach

$λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.3.1

Setze

$λ - 3$ gleich

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Schritt 1.1.7.3.2

Addiere

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 3$

Schritt 1.1.7.4

Setze

$- λ + 4$ gleich

$0$ und löse nach

$λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.4.1

Setze

$- λ + 4$ gleich

$0$ .

$- λ + 4 = 0$

Schritt 1.1.7.4.2

Löse

$- λ + 4 = 0$ nach

$λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.4.2.1

Subtrahiere

$4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- λ = - 4$

Schritt 1.1.7.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$- λ = - 4$ durch

$- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

$- λ = - 4$ durch

$- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.7.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.7.4.2.2.2.2

Dividiere

$λ$ durch

$1$ .

$λ = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.1.7.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.4.2.2.3.1

Dividiere

$- 4$ durch

$- 1$ .

$λ = 4$

Schritt 1.1.7.5

Setze

$λ - 7$ gleich

$0$ und löse nach

$λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.7.5.1

Setze

$λ - 7$ gleich

$0$ .

$λ - 7 = 0$

Schritt 1.1.7.5.2

Addiere

$7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 7$

Schritt 1.1.7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$(λ - 3) (- λ + 4) (λ - 7) = 0$ wahr machen.

$λ = 3, 4, 7$

Schritt 1.2

Der Eigenvektor ist gleich dem Nullraum der Matrix minus dem Eigenwert mal der Einheitsmatrix, wobei

$N$ der Nullraum und

$I$ die Einheitsmatrix ist.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Schritt 1.3

Bestimme den Eigenvektor unter Verwendung des Eigenwertes

$λ = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1.1

Multipliziere

$- 3$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.3

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.4

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.5

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.6

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.7

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.8

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.1.2.9

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 5 - 3 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache jedes Element.

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Schritt 1.3.2.3.1

Subtrahiere

$3$ von

$5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.2

Addiere

$2$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.3

Addiere

$0$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.4

Addiere

$2$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 3 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.5

Subtrahiere

$3$ von

$5$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.6

Addiere

$0$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.7

Addiere

$4$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.8

Addiere

$- 1$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 3 \end{array}]$

Schritt 1.3.2.3.9

Subtrahiere

$3$ von

$4$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.3

Bestimme den Nullraum, wenn

$λ = 3$ .

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.1.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.3

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.3.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.3.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.4

Vertausche

$R_{3}$ mit

$R_{2}$ , um einen Nicht-Null-Eintrag in

$2, 2$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.5

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- \frac{1}{5}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.5.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- \frac{1}{5}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 1 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.5.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.6

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.2.6.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 + \frac{1}{5} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.2.6.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Schritt 1.3.3.4

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Schritt 1.3.3.5

Schreibe die Lösung als Linearkombination von Vektoren.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1.3.3.6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 1.3.3.7

Die Lösung ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 1.4

Bestimme den Eigenvektor unter Verwendung des Eigenwertes

$λ = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1.1

Multipliziere

$- 4$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.1.2.3

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.1.2.4

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.1.2.5

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.1.2.6

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.1.2.7

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.1.2.8

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.1.2.9

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache jedes Element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.3.1

Subtrahiere

$4$ von

$5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.3.2

Addiere

$2$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.3.3

Addiere

$0$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.3.4

Addiere

$2$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 4 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.3.5

Subtrahiere

$4$ von

$5$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.3.6

Addiere

$0$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.3.7

Addiere

$4$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.3.8

Addiere

$- 1$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 4 \end{array}]$

Schritt 1.4.2.3.9

Subtrahiere

$4$ von

$4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Bestimme den Nullraum, wenn

$λ = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.1.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot 2 & 0 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.3

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.3.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.3.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 9 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.4

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.4.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} + 9 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 9 \cdot 0 & - 9 + 9 \cdot 1 & 0 + 9 \cdot 0 & 0 + 9 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.4.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.5

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.2.5.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2.5.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Schritt 1.4.3.4

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Schreibe die Lösung als Linearkombination von Vektoren.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 1.4.3.7

Die Lösung ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 1.5

Bestimme den Eigenvektor unter Verwendung des Eigenwertes

$λ = 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] - 7 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1.1

Multipliziere

$- 7$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.1.2.3

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.1.2.4

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 1 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.1.2.5

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & - 7 \cdot 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.1.2.6

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.1.2.7

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & - 7 \cdot 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.1.2.8

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.1.2.9

Mutltipliziere

$- 7$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 7 & 0 & 0 \\ 0 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 5 - 7 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache jedes Element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.3.1

Subtrahiere

$7$ von

$5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.3.2

Addiere

$2$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.3.3

Addiere

$0$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.3.4

Addiere

$2$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 - 7 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.3.5

Subtrahiere

$7$ von

$5$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.3.6

Addiere

$0$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 + 0 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.3.7

Addiere

$4$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 + 0 & 4 - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.3.8

Addiere

$- 1$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 - 7 \end{array}]$

Schritt 1.5.2.3.9

Subtrahiere

$7$ von

$4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Schritt 1.5.3

Bestimme den Nullraum, wenn

$λ = 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$- \frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$- \frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.3

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.3.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 \cdot - 1 & - 3 - 4 \cdot 0 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.3.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.4

Vertausche

$R_{3}$ mit

$R_{2}$ , um einen Nicht-Null-Eintrag in

$2, 2$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.5

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.5.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 3}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.5.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.6

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.6.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.2.6.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Schritt 1.5.3.4

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Schritt 1.5.3.5

Schreibe die Lösung als Linearkombination von Vektoren.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1.5.3.6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 1.5.3.7

Die Lösung ist die Menge der Vektoren, die aus den freien Variablen des Systems erzeugt werden.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 1.6

Der Eigenraum von

$A$ ist die Liste des Vektorraums für jeden Eigenwert.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 2

Definiere

$P$ als eine Matrix der Eigenvektoren.

$P = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Finde die Umkehrfunktion von

$P$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bestimme die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

$0$ Elementen. Wenn keine

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

$2$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 3.1.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 3.1.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 3.1.1.3

Die Unterdeterminante für

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.1.1.4

Multipliziere Element

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.1.1.5

Die Unterdeterminante für

$a_{22}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$2$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.1.1.6

Multipliziere Element

$a_{22}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.1.1.7

Die Unterdeterminante für

$a_{32}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$3$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Schritt 3.1.1.8

Multipliziere Element

$a_{32}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Schritt 3.1.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$0 | \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$| \begin{array}{c} \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere

$0$ mit

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

$0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$

Schritt 3.1.4

Berechne

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 1 \\ \frac{1}{5} & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Schritt 3.1.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1)$

Schritt 3.1.4.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$0 + 0 - 1 (- \frac{1}{5} - \frac{1}{5})$

Schritt 3.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 0 - 1 \frac{- 1 - 1}{5}$

Schritt 3.1.4.2.3

Subtrahiere

$1$ von

$- 1$ .

$0 + 0 - 1 (\frac{- 2}{5})$

Schritt 3.1.4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + 0 - 1 (- \frac{2}{5})$

Schritt 3.1.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.1.5.1

Multipliziere

$- 1 (- \frac{2}{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.5.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$0 + 0 + 1 (\frac{2}{5})$

Schritt 3.1.5.1.2

Mutltipliziere

$\frac{2}{5}$ mit

$1$ .

$0 + 0 + \frac{2}{5}$

Schritt 3.1.5.2

Addiere

$0$ und

$0$ .

$0 + \frac{2}{5}$

Schritt 3.1.5.3

Addiere

$0$ und

$\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Schritt 3.2

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 3.3

Stelle eine

$3 \times 6$ Matrix auf, bei der die linke Hälfte die ursprüngliche Matrix und die rechte Hälfte die Einheitsmatrix ist.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$- 5$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$- 5$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - 5 (- \frac{1}{5}) & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.4.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.4.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - \frac{1}{5} R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 0 - \frac{1}{5} \cdot - 5 & 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.4.3

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 0 & 1 + 5 & 0 + 5 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.4.4

Vertausche

$R_{3}$ mit

$R_{2}$ , um einen Nicht-Null-Eintrag in

$2, 2$ zu machen.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.4.5

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.4.5.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \end{array}]$

Schritt 3.4.5.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 5 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.4.6

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.4.6.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 6 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 1 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (\frac{1}{2}) & 0 - 6 (\frac{1}{2}) & 1 - 6 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.4.6.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.4.7

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.4.7.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + 5 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 5 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 (\frac{1}{2}) & 0 + 5 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.4.7.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.5

Die rechte Hälfte der normierten Zeilenstufenform ist die Umkehrfunktion.

$P^{- 1} = [\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ähnlichkeitstransformation, um die diagonale Matrix

$D$ zu ermitteln.

$D = P^{- 1} A P$

Schritt 5

Ersetze die Matrizen.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \\ 2 & - 3 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 4 & - 1 & 4 \end{array}]$ .

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Schritt 6.1.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix

$3 \times 3$ und die zweite Matrix ist

$3 \times 3$ .

Schritt 6.1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} \cdot 5 + \frac{5}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & - \frac{5}{2} \cdot 2 + \frac{5}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & - \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{5}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \\ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot 2 - 3 \cdot 5 + 1 \cdot - 1 & 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 \cdot 4 \\ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 4 & \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 + 0 \cdot - 1 & \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 4 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 6.1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 6.2

Multipliziere $[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} & \frac{15}{2} & 0 \\ 8 & - 12 & 4 \\ \frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$ .

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Schritt 6.2.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix $3 \times 3$ und die zweite Matrix ist $3 \times 3$ .

Schritt 6.2.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 0 + \frac{15}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & - \frac{15}{2} \cdot 1 + \frac{15}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 8 (- \frac{1}{5}) - 12 (\frac{1}{5}) + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 8 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \\ \frac{7}{2} (- \frac{1}{5}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{5} + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 0 + \frac{7}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 1 & \frac{7}{2} \cdot 1 + \frac{7}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 6.2.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{array}]$

Gib DEINE Aufgabe ein