Lineare Algebra Beispiele

$A = [\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} x & 3 y & z \end{array}]$

Schritt 1

Schreibe als lineares Gleichungssystem.

$3 = x$

$1 = 3 y$

$2 = z$

Schritt 2

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.1

Verschiebe Variablen nach links und konstante Terme nach rechts.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 - x = 0$

$1 = 3 y$

$2 = z$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

$1 = 3 y$

$2 = z$

Schritt 2.1.3

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

$1 - 3 y = 0$

$2 = z$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$2 = z$

Schritt 2.1.5

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$2 - z = 0$

Schritt 2.1.6

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$- z = - 2$

$- x = - 3$

$- 3 y = - 1$

$- z = - 2$

Schritt 2.2

Schreibe das System als eine Matrix.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.3

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 3$

$y = \frac{1}{3}$

$z = 2$

Schritt 2.5

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]$

Schritt 2.6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${[\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]}$

Gib DEINE Aufgabe ein