Lineare Algebra Beispiele

A = [\begin{matrix} 3 & 1 & 2 \end{matrix}]

$A = [\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 \end{array}]$ ,

x = [\begin{matrix} x & 3 y & z \end{matrix}]

$x = [\begin{array}{c} x & 3 y & z \end{array}]$

Schritt 1

Schreibe als lineares Gleichungssystem.

3 = x

$3 = x$

1 = 3 y

$1 = 3 y$

2 = z

$2 = z$

Schritt 2

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.1

Verschiebe Variablen nach links und konstante Terme nach rechts.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere

x

$x$ von beiden Seiten der Gleichung.

3 - x = 0

$3 - x = 0$

1 = 3 y

$1 = 3 y$

2 = z

$2 = z$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere

3

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

- x = - 3

$- x = - 3$

1 = 3 y

$1 = 3 y$

2 = z

$2 = z$

Schritt 2.1.3

Subtrahiere

3 y

$3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

- x = - 3

$- x = - 3$

1 - 3 y = 0

$1 - 3 y = 0$

2 = z

$2 = z$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

- x = - 3

$- x = - 3$

- 3 y = - 1

$- 3 y = - 1$

2 = z

$2 = z$

Schritt 2.1.5

Subtrahiere

z

$z$ von beiden Seiten der Gleichung.

- x = - 3

$- x = - 3$

- 3 y = - 1

$- 3 y = - 1$

2 - z = 0

$2 - z = 0$

Schritt 2.1.6

Subtrahiere

2

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

- x = - 3

$- x = - 3$

- 3 y = - 1

$- 3 y = - 1$

- z = - 2

$- z = - 2$

- x = - 3

$- x = - 3$

- 3 y = - 1

$- 3 y = - 1$

- z = - 2

$- z = - 2$

Schritt 2.2

Schreibe das System als eine Matrix.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & - 3 0 & - 3 & 0 & - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

- 1

$- 1$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

- 1

$- 1$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - - 1 & - 0 & - 0 & - - 3 0 & - 3 & 0 & - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - - 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & - 3 & 0 & - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & - 3 & 0 & - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & - 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.3

Multipliziere jedes Element von

R_{3}

$R_{3}$ mit

- 1

$- 1$ , um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere jedes Element von

R_{3}

$R_{3}$ mit

- 1

$- 1$ , um den Eintrag in

3, 3

$3, 3$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

x = 3

$x = 3$

y = \frac{1}{3}

$y = \frac{1}{3}$

z = 2

$z = 2$

Schritt 2.5

Schreibe einen Lösungsvektor durch Lösung der freien Variablen in jeder Zeile.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 \frac{1}{3} 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]$

Schritt 2.6

Schreibe als eine Lösungsmenge.

${[\begin{array}{c} 3 \\ \frac{1}{3} \\ 2 \end{array}]}$

Gib DEINE Aufgabe ein