Lineare Algebra Beispiele
[2-1412]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2−1412⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦ , [12-152]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣12−152⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦ , [21-361]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣21−361⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 1
Um zu bestimmen, ob die Spalten in der Matrix linear abhängig sind, ermittle, ob es für die Gleichung Ax=0Ax=0 irgendeine nichttriviale Lösung gibt.
Schritt 2
Schreibe als eine erweiterte Matrix für Ax=0Ax=0.
[2120-12104-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣2120−12104−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3
Schritt 3.1
Multipliziere jedes Element von R1R1 mit 1212, um den Eintrag in 1,11,1 mit 11 vorzunehmen.
Schritt 3.1.1
Multipliziere jedes Element von R1R1 mit 1212, um den Eintrag in 1,11,1 mit 11 vorzunehmen.
[22122202-12104-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣22122202−12104−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.1.2
Vereinfache R1R1.
[11210-12104-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210−12104−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210-12104-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210−12104−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.2
Führe die Zeilenumformung R2=R2+R1R2=R2+R1 aus, um den Eintrag in 2,12,1 mit 00 zu machen.
Schritt 3.2.1
Führe die Zeilenumformung R2=R2+R1R2=R2+R1 aus, um den Eintrag in 2,12,1 mit 00 zu machen.
[11210-1+1⋅12+121+1⋅10+04-1-3015602210]⎡⎢
⎢
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⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210−1+1⋅12+121+1⋅10+04−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.2.2
Vereinfache R2R2.
[11210052204-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052204−1−3015602210⎤⎥
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⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210052204-1-3015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052204−1−3015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.3
Führe die Zeilenumformung R3=R3-4R1R3=R3−4R1 aus, um den Eintrag in 3,13,1 mit 00 zu machen.
Schritt 3.3.1
Führe die Zeilenumformung R3=R3-4R1R3=R3−4R1 aus, um den Eintrag in 3,13,1 mit 00 zu machen.
[11210052204-4⋅1-1-4(12)-3-4⋅10-4⋅015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052204−4⋅1−1−4(12)−3−4⋅10−4⋅015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.3.2
Vereinfache R3R3.
[11210052200-3-7015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−7015602210⎤⎥
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⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210052200-3-7015602210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−7015602210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.4
Führe die Zeilenumformung R4=R4-R1R4=R4−R1 aus, um den Eintrag in 4,14,1 mit 00 zu machen.
Schritt 3.4.1
Führe die Zeilenumformung R4=R4-R1R4=R4−R1 aus, um den Eintrag in 4,14,1 mit 00 zu machen.
[11210052200-3-701-15-126-10-02210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−701−15−126−10−02210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.4.2
Vereinfache R4R4.
[11210052200-3-70092502210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−70092502210⎤⎥
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⎥
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⎥⎦
[11210052200-3-70092502210]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−70092502210⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.5
Führe die Zeilenumformung R5=R5-2R1R5=R5−2R1 aus, um den Eintrag in 5,15,1 mit 00 zu machen.
Schritt 3.5.1
Führe die Zeilenumformung R5=R5-2R1R5=R5−2R1 aus, um den Eintrag in 5,15,1 mit 00 zu machen.
[11210052200-3-70092502-2⋅12-2(12)1-2⋅10-2⋅0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−70092502−2⋅12−2(12)1−2⋅10−2⋅0⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.5.2
Vereinfache R5R5.
[11210052200-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−700925001−10⎤⎥
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⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210052200-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210052200−3−700925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.6
Multipliziere jedes Element von R2R2 mit 2525, um den Eintrag in 2,22,2 mit 11 vorzunehmen.
Schritt 3.6.1
Multipliziere jedes Element von R2R2 mit 2525, um den Eintrag in 2,22,2 mit 11 vorzunehmen.
[1121025⋅025⋅5225⋅225⋅00-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1121025⋅025⋅5225⋅225⋅00−3−700925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.6.2
Vereinfache R2R2.
[11210014500-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210014500−3−700925001−10⎤⎥
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⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210014500-3-700925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
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⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210014500−3−700925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.7
Führe die Zeilenumformung R3=R3+3R2R3=R3+3R2 aus, um den Eintrag in 3,23,2 mit 00 zu machen.
Schritt 3.7.1
Führe die Zeilenumformung R3=R3+3R2R3=R3+3R2 aus, um den Eintrag in 3,23,2 mit 00 zu machen.
[11210014500+3⋅0-3+3⋅1-7+3(45)0+3⋅00925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
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⎢⎣11210014500+3⋅0−3+3⋅1−7+3(45)0+3⋅00925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.7.2
Vereinfache R3R3.
[112100145000-23500925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112100145000-23500925001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500925001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.8
Führe die Zeilenumformung R4=R4-92R2R4=R4−92R2 aus, um den Eintrag in 4,24,2 mit 00 zu machen.
Schritt 3.8.1
Führe die Zeilenumformung R4=R4-92R2R4=R4−92R2 aus, um den Eintrag in 4,24,2 mit 00 zu machen.
[112100145000-23500-92⋅092-92⋅15-92⋅450-92⋅001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500−92⋅092−92⋅15−92⋅450−92⋅001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.8.2
Vereinfache R4R4.
[112100145000-23500075001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500075001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112100145000-23500075001-10]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500075001−10⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.9
Führe die Zeilenumformung R5=R5-R2R5=R5−R2 aus, um den Eintrag in 5,25,2 mit 00 zu machen.
Schritt 3.9.1
Führe die Zeilenumformung R5=R5-R2R5=R5−R2 aus, um den Eintrag in 5,25,2 mit 00 zu machen.
[112100145000-2350007500-01-1-1-450-0]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−2350007500−01−1−1−450−0⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.9.2
Vereinfache R5R5.
[112100145000-23500075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112100145000-23500075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000−23500075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.10
Multipliziere jedes Element von R3R3 mit -523−523, um den Eintrag in 3,33,3 mit 11 vorzunehmen.
Schritt 3.10.1
Multipliziere jedes Element von R3R3 mit -523−523, um den Eintrag in 3,33,3 mit 11 vorzunehmen.
[1121001450-523⋅0-523⋅0-523(-235)-523⋅00075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1121001450−523⋅0−523⋅0−523(−235)−523⋅00075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.10.2
Vereinfache R3R3.
[112100145000100075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000100075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[112100145000100075000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000100075000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.11
Führe die Zeilenumformung R4=R4-75R3R4=R4−75R3 aus, um den Eintrag in 4,34,3 mit 00 zu machen.
Schritt 3.11.1
Führe die Zeilenumformung R4=R4-75R3R4=R4−75R3 aus, um den Eintrag in 4,34,3 mit 00 zu machen.
[112100145000100-75⋅00-75⋅075-75⋅10-75⋅000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣112100145000100−75⋅00−75⋅075−75⋅10−75⋅000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Schritt 3.11.2
Vereinfache R4R4.
[11210014500010000000-950]⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣11210014500010000000−950⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[11210014500010000000-950]
Schritt 3.12
Führe die Zeilenumformung R5=R5+95R3 aus, um den Eintrag in 5,3 mit 0 zu machen.
Schritt 3.12.1
Führe die Zeilenumformung R5=R5+95R3 aus, um den Eintrag in 5,3 mit 0 zu machen.
[1121001450001000000+95⋅00+95⋅0-95+95⋅10+95⋅0]
Schritt 3.12.2
Vereinfache R5.
[1121001450001000000000]
[1121001450001000000000]
Schritt 3.13
Führe die Zeilenumformung R2=R2-45R3 aus, um den Eintrag in 2,3 mit 0 zu machen.
Schritt 3.13.1
Führe die Zeilenumformung R2=R2-45R3 aus, um den Eintrag in 2,3 mit 0 zu machen.
[112100-45⋅01-45⋅045-45⋅10-45⋅0001000000000]
Schritt 3.13.2
Vereinfache R2.
[112100100001000000000]
[112100100001000000000]
Schritt 3.14
Führe die Zeilenumformung R1=R1-R3 aus, um den Eintrag in 1,3 mit 0 zu machen.
Schritt 3.14.1
Führe die Zeilenumformung R1=R1-R3 aus, um den Eintrag in 1,3 mit 0 zu machen.
[1-012-01-10-00100001000000000]
Schritt 3.14.2
Vereinfache R1.
[112000100001000000000]
[112000100001000000000]
Schritt 3.15
Führe die Zeilenumformung R1=R1-12R2 aus, um den Eintrag in 1,2 mit 0 zu machen.
Schritt 3.15.1
Führe die Zeilenumformung R1=R1-12R2 aus, um den Eintrag in 1,2 mit 0 zu machen.
[1-12⋅012-12⋅10-12⋅00-12⋅00100001000000000]
Schritt 3.15.2
Vereinfache R1.
[10000100001000000000]
[10000100001000000000]
[10000100001000000000]
Schritt 4
Entferne Zeilen, die nur Nullen enthalten.
[100001000010]
Schritt 5
Schreibe die Matrix als lineares Gleichungssystem.
x=0
y=0
z=0
Schritt 6
Da die einzige Lösung für Ax=0 die triviale Lösung ist, sind die Vektoren linear unabhängig.
Linear unabhängig
