Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

p (λ)

$p (λ)$ zu ermitteln.

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

2

$2$ ist die

2 \times 2

$2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in

p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Ersetze

A

$A$ durch

[\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] - λ I_{2})

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 1.3.2

Ersetze

I_{2}

$I_{2}$ durch

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] - λ [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Multipliziere

- λ

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - λ & 0 0 & - λ \end{matrix}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

p (λ) = Determinante [\begin{matrix} 0 - λ & 1 + 0 1 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.3.1

Subtrahiere

λ

$λ$ von

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{matrix} - λ & 1 + 0 1 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{matrix} - λ & 1 1 + 0 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{matrix} - λ & 1 1 & 0 - λ \end{matrix}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Subtrahiere

λ

$λ$ von

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{matrix} - λ & 1 1 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{matrix} - λ & 1 1 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{matrix} - λ & 1 1 & - λ \end{matrix}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

p (λ) = - λ (- λ) - 1 \cdot 1

$p (λ) = - λ (- λ) - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.2.2

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.2.1

Bewege

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.2.2.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.2.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 1 λ^{2} - 1 \cdot 1

$p (λ) = 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.2.4

Mutltipliziere

λ^{2}

$λ^{2}$ mit

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} - 1 \cdot 1

$p (λ) = λ^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.2.5

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = λ^{2} - 1

$p (λ) = λ^{2} - 1$

p (λ) = λ^{2} - 1

$p (λ) = λ^{2} - 1$

p (λ) = λ^{2} - 1

$p (λ) = λ^{2} - 1$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich

0

$0$ , um die Eigenwerte

λ

$λ$ zu ermitteln.

λ^{2} - 1 = 0

$λ^{2} - 1 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

λ^{2} = 1

$λ^{2} = 1$

Schritt 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

λ = \pm \sqrt{1}

$λ = \pm \sqrt{1}$

Schritt 1.7.3

Jede Wurzel von

1

$1$ ist

1

$1$ .

λ = \pm 1

$λ = \pm 1$

Schritt 1.7.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

\pm

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

λ = 1

$λ = 1$

Schritt 1.7.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

\pm

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

λ = - 1

$λ = - 1$

Schritt 1.7.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

λ = 1, - 1

$λ = 1, - 1$

λ = 1, - 1

$λ = 1, - 1$

λ = 1, - 1

$λ = 1, - 1$

λ = 1, - 1

$λ = 1, - 1$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

N

$N$ is the null space and

I

$I$ is the identity matrix.

ε_{A} = N (A - λ I_{2})

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = 1

$λ = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

N ([\begin{matrix} 0 & 1 1 & 0 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}])

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

[\begin{matrix} 0 - 1 & 1 - 0 1 - 0 & 0 - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere

1

$1$ von

0

$0$ .

[\begin{matrix} - 1 & 1 - 0 1 - 0 & 0 - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere

0

$0$ von

1

$1$ .

[\begin{matrix} - 1 & 1 1 - 0 & 0 - 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.3

Subtrahiere

$0$ von

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 0 - 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.4

Subtrahiere

$1$ von

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when

$λ = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- 1$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Addiere

$0$ und

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.2

Addiere

$1$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.3

Addiere

$1$ und

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 + 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.4

Addiere

$0$ und

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when

$λ = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y \\ y \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Gib DEINE Aufgabe ein