Lineare Algebra Beispiele

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

p (λ)

$p (λ)$ zu ermitteln.

p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

3

$3$ ist die

3 \times 3

$3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in

p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze

A

$A$ durch

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ I_{3})

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 1.3.2

Ersetze

I_{3}

$I_{3}$ durch

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere

- λ

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.6.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere

- 8

$- 8$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere

- 4

$- 4$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere

12

$12$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere

4

$4$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere

24

$24$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere

16

$16$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 & 7 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 & 7 - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 & 7 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 & 7 - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 & 7 - λ \end{array}]

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 13 - λ & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - λ & 4 \\ 24 & 16 & 7 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

(- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |

$(- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |

$| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |

$8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

- 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$- 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

Add the terms together.

p (λ) = (- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} | + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

Schritt 1.5.2

Berechne

| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 16 & 7 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

p (λ) = (- 13 - λ) ((7 - λ) (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) ((7 - λ) (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.1

Multipliziere

(7 - λ) (7 - λ)

$(7 - λ) (7 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = (- 13 - λ) (7 (7 - λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 (7 - λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ (7 - λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (7 \cdot 7 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

Schritt 1.5.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere

7

$7$ mit

7

$7$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (49 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 + 7 (- λ) - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

7

$7$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - λ \cdot 7 - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere

7

$7$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - λ (- λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege

λ

$λ$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + 1 λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere

λ^{2}

$λ^{2}$ mit

1

$1$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 7 λ - 7 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.2.2

Subtrahiere

7 λ

$7 λ$ von

- 7 λ

$- 7 λ$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 16 \cdot 4) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.1.3

Mutltipliziere

- 16

$- 16$ mit

4

$4$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 64) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 64) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 64) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (49 - 14 λ + λ^{2} - 64) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.2

Subtrahiere

64

$64$ von

49

$49$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (- 14 λ + λ^{2} - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.2.2.3

Stelle

- 14 λ

$- 14 λ$ und

λ^{2}

$λ^{2}$ um.

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 | \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.3

Berechne

| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |

$| \begin{array}{c} 12 & 4 \\ 24 & 7 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 (7 - λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 (7 - λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 \cdot 7 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (12 \cdot 7 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Mutltipliziere

12

$12$ mit

7

$7$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 + 12 (- λ) - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

12

$12$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 24 \cdot 4) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.1.4

Mutltipliziere

- 24

$- 24$ mit

4

$4$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 96) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 96) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 96) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (84 - 12 λ - 96) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.3.2.2

Subtrahiere

96

$96$ von

84

$84$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 | \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$

Schritt 1.5.4

Berechne

| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 12 & 7 - λ \\ 24 & 16 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (12 \cdot 16 - 24 (7 - λ))

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (12 \cdot 16 - 24 (7 - λ))$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1.1

Mutltipliziere

12

$12$ mit

16

$16$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 (7 - λ))

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 (7 - λ))$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 \cdot 7 - 24 (- λ))

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 24 \cdot 7 - 24 (- λ))$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Mutltipliziere

- 24

$- 24$ mit

7

$7$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 - 24 (- λ))

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 - 24 (- λ))$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 24

$- 24$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 + 24 λ)

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 + 24 λ)$

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 + 24 λ)

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (192 - 168 + 24 λ)$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere

168

$168$ von

192

$192$ .

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 + 24 λ)

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 + 24 λ)$

Schritt 1.5.4.2.3

Stelle

24

$24$ und

24 λ

$24 λ$ um.

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = (- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15) + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.1

Multipliziere

(- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15)

$(- 13 - λ) (λ^{2} - 14 λ - 15)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

p (λ) = - 13 λ^{2} - 13 (- 14 λ) - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} - 13 (- 14 λ) - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.2.1

Mutltipliziere

- 14

$- 14$ mit

- 13

$- 13$ .

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ - 13 \cdot - 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.2

Mutltipliziere

- 13

$- 13$ mit

- 15

$- 15$ .

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.3

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ^{2}

$λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.2.3.1

Bewege

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.3.2

Mutltipliziere

λ^{2}

$λ^{2}$ mit

λ

$λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.2.3.2.1

Potenziere

λ

$λ$ mit

1

$1$ .

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.3.3

Addiere

2

$2$ und

1

$1$ .

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.5

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.5.1.2.5.1

Bewege

λ

$λ$ .

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.5.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 14

$- 14$ .

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot - 15 + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.2.7

Mutltipliziere

- 15

$- 15$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = - 13 λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 14 λ^{2} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.3

Addiere

- 13 λ^{2}

$- 13 λ^{2}$ und

14 λ^{2}

$14 λ^{2}$ .

p (λ) = λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = λ^{2} + 182 λ + 195 - λ^{3} + 15 λ + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.4

Addiere

182 λ

$182 λ$ und

15 λ

$15 λ$ .

p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ - 12) - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ) + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} + 8 (- 12 λ) + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.6

Mutltipliziere

- 12

$- 12$ mit

8

$8$ .

p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ + 8 \cdot - 12 - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.7

Mutltipliziere

8

$8$ mit

- 12

$- 12$ .

p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ + 24)

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ + 24)$

Schritt 1.5.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ) - 4 \cdot 24

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 4 (24 λ) - 4 \cdot 24$

Schritt 1.5.5.1.9

Mutltipliziere

24

$24$ mit

- 4

$- 4$ .

p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 4 \cdot 24

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 4 \cdot 24$

Schritt 1.5.5.1.10

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

24

$24$ .

p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 96

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 96$

p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 96

$p (λ) = λ^{2} + 197 λ + 195 - λ^{3} - 96 λ - 96 - 96 λ - 96$

Schritt 1.5.5.2

Subtrahiere

96 λ

$96 λ$ von

197 λ

$197 λ$ .

p (λ) = λ^{2} + 101 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96 λ - 96

$p (λ) = λ^{2} + 101 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96 λ - 96$

Schritt 1.5.5.3

Subtrahiere

96 λ

$96 λ$ von

101 λ

$101 λ$ .

p (λ) = λ^{2} + 5 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ + 195 - λ^{3} - 96 - 96$

Schritt 1.5.5.4

Subtrahiere

96

$96$ von

195

$195$ .

p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 99 - 96

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 99 - 96$

Schritt 1.5.5.5

Subtrahiere

96

$96$ von

99

$99$ .

p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 3

$p (λ) = λ^{2} + 5 λ - λ^{3} + 3$

Schritt 1.5.5.6

Bewege

5 λ

$5 λ$ .

p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 5 λ + 3

$p (λ) = λ^{2} - λ^{3} + 5 λ + 3$

Schritt 1.5.5.7

Stelle

λ^{2}

$λ^{2}$ und

- λ^{3}

$- λ^{3}$ um.

p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$

p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$

p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich

0

$0$ , um die Eigenwerte

λ

$λ$ zu ermitteln.

- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3 = 0

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere

- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , wobei

p

$p$ ein Teiler der Konstanten und

q

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

p = \pm 1, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Schritt 1.7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

\pm 1, \pm 3

$\pm 1, \pm 3$

Schritt 1.7.1.1.3

Setze

- 1

$- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

0

$0$ , folglich ist

- 1

$- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.7.1.1.3.1

Setze

- 1

$- 1$ in das Polynom ein.

- {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3

$- {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.7.1.1.3.2

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

3

$3$ .

- - 1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3

$- - 1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.7.1.1.3.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3

$1 + {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.7.1.1.3.4

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

1 + 1 + 5 \cdot - 1 + 3

$1 + 1 + 5 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.7.1.1.3.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

2 + 5 \cdot - 1 + 3

$2 + 5 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.7.1.1.3.6

Mutltipliziere

5

$5$ mit

- 1

$- 1$ .

2 - 5 + 3

$2 - 5 + 3$

Schritt 1.7.1.1.3.7

Subtrahiere

5

$5$ von

2

$2$ .

- 3 + 3

$- 3 + 3$

Schritt 1.7.1.1.3.8

Addiere

- 3

$- 3$ und

3

$3$ .

0

$0$

0

$0$

Schritt 1.7.1.1.4

- 1

$- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

λ + 1

$λ + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

\frac{- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3}{λ + 1}

$\frac{- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3}{λ + 1}$

Schritt 1.7.1.1.5

Dividiere

- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ durch

λ + 1

$λ + 1$ .

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Schritt 1.7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

0

$0$ .

λ

$λ$

1

$1$

λ^{3}

$λ^{3}$

λ^{2}

$λ^{2}$

5 λ

$5 λ$

3

$3$

Schritt 1.7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

- λ^{3}

$- λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

λ

$λ$ .

				-	$λ^{2}$ $λ^{2}$
	$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$

Schritt 1.7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	-	$λ^{2}$ $λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

- λ^{3} - λ^{2}

$- λ^{3} - λ^{2}$

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$

Schritt 1.7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

2 λ^{2}

$2 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

λ

$λ$ .

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

2 λ^{2} + 2 λ

$2 λ^{2} + 2 λ$

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$
					-	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	-	$2 λ$ $2 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$
					-	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	-	$2 λ$ $2 λ$
							+	$3 λ$ $3 λ$

Schritt 1.7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$
					-	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	-	$2 λ$ $2 λ$
							+	$3 λ$ $3 λ$	+	$3$ $3$

Schritt 1.7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

3 λ

$3 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

λ

$λ$ .

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$	+	$3$ $3$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$
					-	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	-	$2 λ$ $2 λ$
							+	$3 λ$ $3 λ$	+	$3$ $3$

Schritt 1.7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$	+	$3$ $3$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$
					-	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	-	$2 λ$ $2 λ$
							+	$3 λ$ $3 λ$	+	$3$ $3$
							+	$3 λ$ $3 λ$	+	$3$ $3$

Schritt 1.7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

3 λ + 3

$3 λ + 3$

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$	+	$3$ $3$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$
					-	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	-	$2 λ$ $2 λ$
							+	$3 λ$ $3 λ$	+	$3$ $3$
							-	$3 λ$ $3 λ$	-	$3$ $3$

Schritt 1.7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$2 λ$ $2 λ$	+	$3$ $3$
$λ$ $λ$	+	$1$ $1$	-	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$	+	$3$ $3$
			+	$λ^{3}$ $λ^{3}$	+	$λ^{2}$ $λ^{2}$
					+	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	+	$5 λ$ $5 λ$
					-	$2 λ^{2}$ $2 λ^{2}$	-	$2 λ$ $2 λ$
							+	$3 λ$ $3 λ$	+	$3$ $3$
							-	$3 λ$ $3 λ$	-	$3$ $3$
										$0$ $0$

Schritt 1.7.1.1.5.16

Da der Rest gleich

0

$0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

- λ^{2} + 2 λ + 3

$- λ^{2} + 2 λ + 3$

- λ^{2} + 2 λ + 3

$- λ^{2} + 2 λ + 3$

Schritt 1.7.1.1.6

Schreibe

- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3

$- λ^{3} + λ^{2} + 5 λ + 3$ als eine Menge von Faktoren.

(λ + 1) (- λ^{2} + 2 λ + 3) = 0

$(λ + 1) (- λ^{2} + 2 λ + 3) = 0$

(λ + 1) (- λ^{2} + 2 λ + 3) = 0

$(λ + 1) (- λ^{2} + 2 λ + 3) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.7.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.7.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3

$a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich

b = 2

$b = 2$ ist.

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Schritt 1.7.1.2.1.1.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 λ

$2 λ$ heraus.

(λ + 1) (- λ^{2} + 2 (λ) + 3) = 0

$(λ + 1) (- λ^{2} + 2 (λ) + 3) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.1.2

Schreibe

2

$2$ um als

- 1

$- 1$ plus

3

$3$

(λ + 1) (- λ^{2} + (- 1 + 3) λ + 3) = 0

$(λ + 1) (- λ^{2} + (- 1 + 3) λ + 3) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

(λ + 1) (- λ^{2} - 1 λ + 3 λ + 3) = 0

$(λ + 1) (- λ^{2} - 1 λ + 3 λ + 3) = 0$

(λ + 1) (- λ^{2} - 1 λ + 3 λ + 3) = 0

$(λ + 1) (- λ^{2} - 1 λ + 3 λ + 3) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

(λ + 1) ((- λ^{2} - 1 λ) + 3 λ + 3) = 0

$(λ + 1) ((- λ^{2} - 1 λ) + 3 λ + 3) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

(λ + 1) (λ (- λ - 1) - 3 (- λ - 1)) = 0

$(λ + 1) (λ (- λ - 1) - 3 (- λ - 1)) = 0$

(λ + 1) (λ (- λ - 1) - 3 (- λ - 1)) = 0

$(λ + 1) (λ (- λ - 1) - 3 (- λ - 1)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

- λ - 1

$- λ - 1$ .

(λ + 1) ((- λ - 1) (λ - 3)) = 0

$(λ + 1) ((- λ - 1) (λ - 3)) = 0$

(λ + 1) ((- λ - 1) (λ - 3)) = 0

$(λ + 1) ((- λ - 1) (λ - 3)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0

$(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$

(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0

$(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$

(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0

$(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

λ + 1 = 0

$λ + 1 = 0$

- λ - 1 = 0

$- λ - 1 = 0$

λ - 3 = 0

$λ - 3 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze

λ + 1

$λ + 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 1.7.3.1

Setze

λ + 1

$λ + 1$ gleich

0

$0$ .

λ + 1 = 0

$λ + 1 = 0$

Schritt 1.7.3.2

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

λ = - 1

$λ = - 1$

λ = - 1

$λ = - 1$

Schritt 1.7.4

Setze

λ - 3

$λ - 3$ gleich

0

$0$ und löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze

λ - 3

$λ - 3$ gleich

0

$0$ .

λ - 3 = 0

$λ - 3 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Addiere

3

$3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

λ = 3

$λ = 3$

λ = 3

$λ = 3$

Schritt 1.7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0

$(λ + 1) (- λ - 1) (λ - 3) = 0$ wahr machen.

λ = - 1, 3

$λ = - 1, 3$

λ = - 1, 3

$λ = - 1, 3$

λ = - 1, 3

$λ = - 1, 3$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

N

$N$ is the null space and

I

$I$ is the identity matrix.

ε_{A} = N (A - λ I_{3})

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = - 1

$λ = - 1$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])

$N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Addiere die entsprechenden Elemente.

[\begin{array}{c} - 13 + 1 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 + 1 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Simplify each element.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere

- 13

$- 13$ und

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2

Addiere

- 8

$- 8$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.3

Addiere

- 4

$- 4$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.4

Addiere

12

$12$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 + 1 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.5

Addiere

7

$7$ und

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.6

Addiere

4

$4$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.7

Addiere

24

$24$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.8

Addiere

16

$16$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 7 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 7 + 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.9

Addiere

7

$7$ und

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 8 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 8 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 8 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 8 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 8 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 \\ 12 & 8 & 4 \\ 24 & 16 & 8 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when

λ = - 1

$λ = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 12 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

- \frac{1}{12}

$- \frac{1}{12}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

- \frac{1}{12}

$- \frac{1}{12}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{12} \cdot - 12 & - \frac{1}{12} \cdot - 8 & - \frac{1}{12} \cdot - 4 & - \frac{1}{12} \cdot 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{12} \cdot - 12 & - \frac{1}{12} \cdot - 8 & - \frac{1}{12} \cdot - 4 & - \frac{1}{12} \cdot 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 & 8 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 8 - 12 (\frac{2}{3}) & 4 - 12 (\frac{1}{3}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 8 - 12 (\frac{2}{3}) & 4 - 12 (\frac{1}{3}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 & 16 & 8 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{2}{3}) & 8 - 24 (\frac{1}{3}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{2}{3}) & 8 - 24 (\frac{1}{3}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{3} z = 0

$x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{3} z = 0$

0 = 0

$0 = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} - \frac{z}{3} \\ y \\ z \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2 y}{3} - \frac{z}{3} \\ y \\ z \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

{y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}

${y [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

λ = 3

$λ = 3$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])

$N ([\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere

- 3

$- 3$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.5

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.6

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.7

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.8

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.9

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 & 4 \\ 24 & 16 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

[\begin{array}{c} - 13 - 3 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 13 - 3 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere

3

$3$ von

- 13

$- 13$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 + 0 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Addiere

- 8

$- 8$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 + 0 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Addiere

- 4

$- 4$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 + 0 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Addiere

12

$12$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 7 - 3 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Subtrahiere

3

$3$ von

7

$7$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 + 0 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Addiere

4

$4$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 + 0 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Addiere

24

$24$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 + 0 & 7 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.8

Addiere

16

$16$ und

0

$0$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 7 - 3 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 7 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.9

Subtrahiere

3

$3$ von

7

$7$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 \\ 12 & 4 & 4 \\ 24 & 16 & 4 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when

λ = 3

$λ = 3$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for

A x = 0

$A x = 0$ .

[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 16 & - 8 & - 4 & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

- \frac{1}{16}

$- \frac{1}{16}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

- \frac{1}{16}

$- \frac{1}{16}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 16 & - \frac{1}{16} \cdot - 8 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 & - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 16 & - \frac{1}{16} \cdot - 8 & - \frac{1}{16} \cdot - 4 & - \frac{1}{16} \cdot 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 & 4 & 4 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 4 - 12 (\frac{1}{2}) & 4 - 12 (\frac{1}{4}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & 4 - 12 (\frac{1}{2}) & 4 - 12 (\frac{1}{4}) & 0 - 12 \cdot 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 & 16 & 4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 24 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{1}{2}) & 4 - 24 (\frac{1}{4}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 24 - 24 \cdot 1 & 16 - 24 (\frac{1}{2}) & 4 - 24 (\frac{1}{4}) & 0 - 24 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 4 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.5.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & - 2 - 4 (- \frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & - 2 - 4 (- \frac{1}{2}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5.2

Vereinfache

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.6.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & \frac{1}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

x + \frac{1}{2} z = 0

$x + \frac{1}{2} z = 0$

y - \frac{1}{2} z = 0

$y - \frac{1}{2} z = 0$

0 = 0

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ \frac{z}{2} \\ z \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ \frac{z}{2} \\ z \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

{z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

{[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

The eigenspace of

A

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

{[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}

${[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Gib DEINE Aufgabe ein