Lineare Algebra Beispiele

$B = [\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Vereinfache jedes Element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Bestimme die Determinante.

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Schritt 5.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $2$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 5.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 5.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{22}$ ist die Determinante, wenn Zeile $2$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multipliziere Element $a_{22}$ mit seinen Kofaktoren.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{32}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multipliziere Element $a_{32}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1 - λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 1 \cdot 2)$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Multipliziere $(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.2

Multipliziere $- 1 (- λ)$ .

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Schritt 5.4.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.3

Multipliziere $- λ \cdot - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Addiere $λ$ und $λ$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 3)$ .

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Schritt 5.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $2 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Addiere $- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ und $0$ .

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Schritt 5.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Schritt 5.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Schritt 5.5.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Schritt 5.5.2.4

Multipliziere $(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.2.5.1

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.2

Mutltipliziere $2 λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.2.5.4.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.4.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.5.2.5.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.6

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.2.5.6.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

Schritt 5.5.2.6

Subtrahiere $2 λ^{2}$ von $λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Schritt 5.5.2.7

Subtrahiere $4 λ$ von $2 λ$ .

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

Schritt 5.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$ .

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Schritt 5.5.3.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}$

Schritt 5.5.3.2

Addiere $4 λ - λ^{2} - 2 λ$ und $0$ .

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

Schritt 5.5.4

Subtrahiere $2 λ$ von $4 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}$

Schritt 5.5.5

Bewege $2 λ$ .

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

Schritt 5.5.6

Stelle $- λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3}$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{2}$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere $- λ$ aus $2 λ$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.1.4

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ (λ^{2}) - λ (λ)$ heraus.

$- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.1.5

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)$ heraus.

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $λ^{2} + λ - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 7.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ = 0$

$λ - 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

Schritt 7.3

Setze $λ$ gleich $0$ .

$λ = 0$

Schritt 7.4

Setze $λ - 1$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $λ - 1$ gleich $0$ .

$λ - 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 1$

Schritt 7.5

Setze $λ + 2$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $λ + 2$ gleich $0$ .

$λ + 2 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$λ = - 2$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$ wahr machen.

$λ = 0, 1, - 2$

Gib DEINE Aufgabe ein