Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 5 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(1 - λ) (5 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ (5 - λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1 \cdot 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$p (λ) = 5 + 1 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 5 - λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 5 - λ - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.2.2

Subtrahiere $5 λ$ von $- λ$ .

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$p (λ) = 5 - 6 λ + λ^{2} - 6$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} - 1$

Schritt 5.2.3

Stelle $- 6 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 6 λ - 1 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.3

Addiere $36$ und $4$ .

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 7.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$λ = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$λ = 3 \pm \sqrt{10}$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$λ = 3 + \sqrt{10}, 3 - \sqrt{10}$

Dezimalform:

$λ = 6.16227766 \dots, - 0.16227766 \dots$

Gib DEINE Aufgabe ein