Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

p (λ)

$p (λ)$ zu ermitteln.

p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

3

$3$ ist die

3 \times 3

$3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in

p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze

A

$A$ durch

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ I_{3} ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze

I_{3}

$I_{3}$ durch

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ - λ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere

- λ

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & - λ \cdot 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 λ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere

- λ \cdot 0

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

p (λ) = Determinante ⎛ ⎜ ⎝ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 & 4 & 3 1 & 1 & 2 - 1 & 0 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - λ & 0 & 0 0 & - λ & 0 0 & 0 & - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎞ ⎟ ⎠

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

p (λ) = Determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere

4

$4$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere

3

$3$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 + 0 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere

1

$1$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 + 0 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere

2

$2$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere

- 1

$- 1$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere

0

$0$ und

0

$0$ .

p (λ) = Determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 & 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 & 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

p (λ) = Determinante ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 - λ & 4 & 3 1 & 1 - λ & 2 - 1 & 0 & - 1 - λ \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 1 - λ & 2 \\ - 1 & 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

2

$2$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element

a_{22}

$a_{22}$ by its cofactor.

(1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element

a_{32}

$a_{32}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

p (λ) = - 4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$

p (λ) = - 4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

Schritt 5.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 1 & 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

p (λ) = - 4 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & 2 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (1 (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere

- 1 - λ

$- 1 - λ$ mit

1

$1$ .

p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - (- 1 \cdot 2)) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3.2.1.2

Multipliziere

- (- 1 \cdot 2)

$- (- 1 \cdot 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ - - 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 2

$- 2$ .

p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- 1 - λ + 2) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.3.2.2

Addiere

- 1

$- 1$ und

2

$2$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.4

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 1 - λ & 3 - 1 & - 1 - λ \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 \\ - 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1

Multipliziere

(- 1 - λ) (- 1 - λ)

$(- 1 - λ) (- 1 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (- 1 \cdot - 1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 - 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.2

Multipliziere

- 1 (- λ)

$- 1 (- λ)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 1 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

1

$1$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.3

Multipliziere

- λ \cdot - 1

$- λ \cdot - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + 1 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.3.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

1

$1$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege

λ

$λ$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere

λ^{2}

$λ^{2}$ mit

1

$1$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + λ + λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Addiere

λ

$λ$ und

λ

$λ$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 3)) + 0$

Schritt 5.4.2.1.3

Multipliziere

- (- 1 \cdot 3)

$- (- 1 \cdot 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

3

$3$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} - - 3) + 0$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 3

$- 3$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (1 + 2 λ + λ^{2} + 3) + 0$

Schritt 5.4.2.2

Addiere

1

$1$ und

3

$3$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (2 λ + λ^{2} + 4) + 0$

Schritt 5.4.2.3

Stelle

2 λ

$2 λ$ und

λ^{2}

$λ^{2}$ um.

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4) + 0$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Addiere

- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)

$- 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ und

0

$0$ .

p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)

$p (λ) = - 4 (- λ + 1) + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Schritt 5.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)

$p (λ) = - 4 (- λ) - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Schritt 5.5.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 4

$- 4$ .

p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)

$p (λ) = 4 λ - 4 \cdot 1 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Schritt 5.5.2.3

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)

$p (λ) = 4 λ - 4 + (1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$

Schritt 5.5.2.4

Multipliziere

(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)

$(1 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + 1 λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.5.1

Mutltipliziere

λ^{2}

$λ^{2}$ mit

1

$1$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 1 (2 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.2

Mutltipliziere

2 λ

$2 λ$ mit

1

$1$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.3

Mutltipliziere

4

$4$ mit

1

$1$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.4

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ^{2}

$λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.5.4.1

Bewege

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.4.2

Mutltipliziere

λ^{2}

$λ^{2}$ mit

λ

$λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.2.5.4.2.1

Potenziere

λ

$λ$ mit

1

$1$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.4.2.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.4.3

Addiere

2

$2$ und

1

$1$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.6

Multipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.2.5.6.1

Bewege

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.6.2

Mutltipliziere

λ

$λ$ mit

λ

$λ$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.7

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 4$

Schritt 5.5.2.5.8

Mutltipliziere

4

$4$ mit

- 1

$- 1$ .

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ

$p (λ) = 4 λ - 4 + λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 2 λ^{2} - 4 λ$

Schritt 5.5.2.6

Subtrahiere

2 λ^{2}

$2 λ^{2}$ von

λ^{2}

$λ^{2}$ .

p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} + 2 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Schritt 5.5.2.7

Subtrahiere

4 λ

$4 λ$ von

2 λ

$2 λ$ .

p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}

$p (λ) = 4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$

Schritt 5.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}

$4 λ - 4 - λ^{2} - 2 λ + 4 - λ^{3}$ .

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Schritt 5.5.3.1

Addiere

- 4

$- 4$ und

4

$4$ .

p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ + 0 - λ^{3}$

Schritt 5.5.3.2

Addiere

4 λ - λ^{2} - 2 λ

$4 λ - λ^{2} - 2 λ$ und

0

$0$ .

p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}

$p (λ) = 4 λ - λ^{2} - 2 λ - λ^{3}$

Schritt 5.5.4

Subtrahiere

2 λ

$2 λ$ von

4 λ

$4 λ$ .

p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}

$p (λ) = - λ^{2} + 2 λ - λ^{3}$

Schritt 5.5.5

Bewege

2 λ

$2 λ$ .

p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 2 λ$

Schritt 5.5.6

Stelle

- λ^{2}

$- λ^{2}$ und

- λ^{3}

$- λ^{3}$ um.

p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich

0

$0$ , um die Eigenwerte

λ

$λ$ zu ermitteln.

- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Schritt 7

Löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere

- λ

$- λ$ aus

- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ

$- λ^{3} - λ^{2} + 2 λ$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere

- λ

$- λ$ aus

- λ^{3}

$- λ^{3}$ heraus.

- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0

$- λ \cdot λ^{2} - λ^{2} + 2 λ = 0$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere

- λ

$- λ$ aus

- λ^{2}

$- λ^{2}$ heraus.

- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ + 2 λ = 0$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere

- λ

$- λ$ aus

2 λ

$2 λ$ heraus.

- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0

$- λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.1.4

Faktorisiere

- λ

$- λ$ aus

- λ (λ^{2}) - λ (λ)

$- λ (λ^{2}) - λ (λ)$ heraus.

- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0

$- λ (λ^{2} + λ) - λ \cdot - 2 = 0$

Schritt 7.1.1.5

Faktorisiere

- λ

$- λ$ aus

- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)

$- λ (λ^{2} + λ) - λ (- 2)$ heraus.

- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0

$- λ (λ^{2} + λ - 2) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere

λ^{2} + λ - 2

$λ^{2} + λ - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.2.1.1

Betrachte die Form

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

c

$c$ und deren Summe

b

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

- 2

$- 2$ und deren Summe

1

$1$ ist.

- 1, 2

$- 1, 2$

Schritt 7.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0

$- λ ((λ - 1) (λ + 2)) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

λ = 0

$λ = 0$

λ - 1 = 0

$λ - 1 = 0$

λ + 2 = 0

$λ + 2 = 0$

Schritt 7.3

Setze

λ

$λ$ gleich

0

$0$ .

λ = 0

$λ = 0$

Schritt 7.4

Setze

λ - 1

$λ - 1$ gleich

0

$0$ und löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze

λ - 1

$λ - 1$ gleich

0

$0$ .

λ - 1 = 0

$λ - 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere

1

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

λ = 1

$λ = 1$

λ = 1

$λ = 1$

Schritt 7.5

Setze

λ + 2

$λ + 2$ gleich

0

$0$ und löse nach

λ

$λ$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze

λ + 2

$λ + 2$ gleich

0

$0$ .

λ + 2 = 0

$λ + 2 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere

2

$2$ von beiden Seiten der Gleichung.

λ = - 2

$λ = - 2$

λ = - 2

$λ = - 2$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0

$- λ (λ - 1) (λ + 2) = 0$ wahr machen.

λ = 0, 1, - 2

$λ = 0, 1, - 2$

λ = 0, 1, - 2

$λ = 0, 1, - 2$

Gib DEINE Aufgabe ein